数学建模鼠患问题.doc

草原命运 摘要： 本文就解决草原鼠患问题分别对任务一的三种不同方案建立了数学微分模型即灭鼠药模型、引入天敌模型、人工种植牧草模型，从而根据建立的模型对灭鼠方法的效果进行评估分析在我国的内蒙古大草原鼠患问题严重引发了严重的生态问题。 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药 现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 (2) 引入老鼠的天敌 通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等， 将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 (3) 人工种植牧草 鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。 任务1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题； 任务2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的议；任务3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。P(r,t) 老鼠密度函数。 f(t) 幼鼠的出生率。 三、问题分析与建模及鼠患预测 任务一： 【灭鼠药模型】 模型的基本假设 1、 在短期内把草原看做一个独立封闭的系统，不考虑老鼠的迁移因素。 2 、不计天敌因老鼠药的影响而对老鼠的影响。 3 、不计迁移气候等环境因素的影响。 4 、老鼠的年龄以月份来计算。 5 、老鼠服用药后在体内不产生抗体。 模型的建立 老鼠发展方向 使老鼠数量和结构变化的因素不外乎出生死亡和迁移为简化起见在建立撒灭鼠药对老鼠的影响的模型中只考虑自然的繁殖和死亡及服老鼠药后的死亡率，及迁移气候等环境因素的影响。 为研究撒老鼠药后任意时刻不同年龄的老鼠数量，引入老鼠的分布函数和密度函数。时刻t年龄小于r的老鼠数目称为老鼠分布函数，记作F(r,t)其中t，（r0）,均为连续变量，设F是连续、可微的。时刻t的老鼠总数记作N(t),最高年龄记作，理论推导时设。于是对于非负非降函数F（r,t），有 F（0,t）=0，F（,t）= N(t) ⑴ 老鼠密度函数定义为 P(r,t)= ⑵ P(r,t)表示时刻t年龄在区间【r,r+】内的老鼠数目。 记(r,t)为时刻t年龄r的老鼠的自然死亡率，(r,t)为撒药后时刻t年龄r的老鼠的死亡率，其含义是，【(r,t) +(r,t)】P(r,t)表示时刻t年龄在【r,r+】内单位时间死亡的老鼠数。 为了得到 P(r,t)满足的方程，考察时刻t年龄在[r, r+]内的老鼠到时刻t+的情况。它们中活着的那一部分老鼠的年龄变为[r+,r++],这里=。而在这段时间内死亡的老鼠数数为【(r,t) +(r,t)】P(r,t)。于是有 P(r,t)- P(