平面解析几何初步一轮复习-(有答案).docVIP

第章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程 1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________． 斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． 2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 ．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝ 时，直线在y轴上的截距为－．④ 当m＝ 时，直线与x轴平行．⑤当m＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－ ⑶ 或－2 ⑷－ ⑸ 变式训练1.（1）直线3y＋x＋2=0的倾斜角是 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ） A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3 （3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是 （ ） A． B．－ C． D．－ （4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－． （2）C．提示：用斜率计算公式． （3）A．提示：两直线的斜率互为相反数． （4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC， ∴A、B、C三点共线. 方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3， ∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线. 方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴=（2，4），=（1，2），∴=2. 又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线. 变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC， ∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2， ∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0， ∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. 例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：的最大值与最小值. 解 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB, 由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴≤k≤8， 故的最大值为8，最小值为. 变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 （ ） A. B. C. D. 答案D 例4. 已知定点P(6, 4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程． 解：Q点在l1: y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为： 令y＝0，得：x＝(x01)，∴ M(，0) ∴ S△OQM＝··4x0＝10· ＝10·[(x0－1)＋＋2]≥40 当且仅当x0－1＝即x0＝2取等号，∴Q(2，8) PQ的方程为：，∴x＋y－10＝0 变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点． (1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； (2)当取最小值时，求直线l的方程． 解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0) 则A(2－，0)，B(0，1－2k) ①由S＝(1－2k)(2－)＝(4－4k－) ≥＝4 当且仅当－4k＝－，即k＝－时等号成立 ∴△AOB的面积最小值为4 此时l的方程是x＋2y－4＝0