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2009 年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 （数学类） 一、计算题（每小题 12 分，满分 60 分） 1 1 (2 )! ?n 1、求极限 lim ? ? n→∞ n ? n! 2、计算不定积分  ln x  dx  3、设 ∫1+ x2(ln x ?1)2 f x( ) = x3sin2x ，求 f (2009)(0)  [  ]  ?2z 4、设 g 二阶可导， f 有二阶连续偏导数， x x z g xf x y y( + , 2 ) ，求 ? ? x y 5、设 f 为连续函数， ? ( ) = ∫ ∫0dv 0 ( + ? )d ，求?′( ) = { = n ∈ + ≤ ≤ } 二、（满分 20 分）设集合 Ak 记 A* k 为 Ak的元素个数，证明 lim , , A* = k1 , ≥ 1, n ≥ 2,1 z k k→+∞ k 三、（满分 20 分）设 ? 为由抛物面 z = 2x2+ y2与平面 4x + 2 y z+ = 1围绕的立体，其边界 的平面部分为 S1，曲面部分为 S2， p0为 S2上的一个点。 （1）求以 p0为顶点， S1为底面的锥体体积 V； （2）求 p0，使 V 达到最大值。 x2+ y2 R x y z( , , ) = ∫ ( ? )d ，曲面 S 为 z x2+ y2被 四、（满分 20 分）设 f 导函数连续， 0 y z+ = 1所截的下面部分，内侧， L 为 S 的正向边界，求 ∫ ? ? 2 2  y )dx + ?x 3 + 2 2 yzf z x? ? y  y R x y z z L 2 ( 1 2 ( ) d ( , , )d 五、（满分 15 分）设 f xn( ) = x n + ?x r ，其中 r 0 （1）证明： f xn( ) 在 (0, +∞) 内有唯一的零点 xn； ∞ （2）问 r 为何值时，级数 ∑ xn收敛？发散？ n=1 1 六、（满分 15 分）设函数 f 满足 f x( ) 0 ， ∫ 0( )d = 0 证明 x [ ] ， { } f x( ) ≤ max f (0), (1)  2009 年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 （工科类） 一、计算题（每小题 12 分，满分 60 分） 1 1 (2 )! ? n 1、求极限 lim ? ? n→∞ n ? n! 2、计算不定积分  ln x  dx  3、设 ∫1+ x2(ln x ?1)2 f x( ) = x3sin2x ，求 f (2009)(0)  [  ]  ?2z 4、设 g 二阶可导， f 有二阶连续偏导数， x x z g xf x y y( + , 2 ) ，求 ? ? x y 5、设 f 为连续函数， ? ( ) = ∫ ∫0dv ? 0 ( 2 + ? ?  1 )d ，求?′( ) 二、（满分 20 分）已知极限 lim x→0 ? ? ex+ ax + bx 1? x ?? x2 = 1，求常数 , 的值 三、（满分 20 分）设 ? 为由抛物面 z = 2x2+ y2与平面 4x + 2 y z+ = 1围绕的立体，其边界 的平面部分为 S1，曲面部分为 S2， p0为 S2上的一个点。 （1）求以 p0为顶点， S1为底面的锥体体积 V； （2）求 p0，使 V 达到最大值。 x2+ y2 R x y z( , , ) = ∫ ( ? )d ，曲面 S 为 z x2+ y2被 四、（满分 20 分）设 f 导函数连续， 0 y z+ = 1所截的下面部分，内侧， L 为 S 的正向边界，求 ∫ ? ? 2 2 y )dx + ?x 3 + 2 2 yzf z x? ? y y R x y z z L 2 ( 1 2 ( ) d ( , , )d 五、（满分 15 分）设 f xn( ) = x n + ?x r ，其中 r 0 （1）证明： f xn( ) 在 (0, +∞) 内有唯一的零点 xn； ∞ （2）问 r 为何值时，级数 ∑ xn收敛？发散？ n=1 六、（满分 15 分）设 f 在[0, +∞) 上可导，且 f x( ) ≥ ( ), (0) 0≥ ，证明：f x( ) 0( x ≥ 0)  2009 年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 （经管类） 一、计算题：（每小题 12 分，满分 60 分）  1、求极限 lim n  2n  1 ( + ) n →∞ ∑ i n 2、计算不定积分  ln x  dx ∫1+