什么是几何什么是线性规划.docVIP

有影响的数学家Marianne Freiberger 关键词： 数学家 引言 作为一门学科，数学有简朴之美的声誉——它对某些人产生共鸣，就像美丽的日出日落、动听的交响乐或漂亮的图画可能对其他人产生共鸣一样。然而，数学也有其应用的一面。如果没有20世纪发展的数学，我们不会有正在从根本上改变我们21世纪初生活方式的手机。与数学的美感及适用性双重背景相比较的是这样的感觉：数学前沿与非数学使用者能掌握的东西越走越远。数学证明已经变得越来越长、越来越复杂，并且在某些情况下，重要定理已经整体上需要计算机的帮助。这方面的例子有Wolfgang Haken和Kenneth Appel计算机证明了四色定理这一猜想以及Thomas Hale计算机证实球体可以挤进三维空间并能达到最大密度。 由于许多数学家的工作以及他们对数学的热爱，以及清晰的洞察，使我们可以更清楚地看到数学的美感与适用性这两方面。在这方面做出杰出贡献的数学家很多，在这里，我想介绍前几年去世的美国几何学家Victor Klee的工作。 Victor Klee是美国最杰出的几何学家之一。他的去世（2007年8月）是数学界的重大损失。他出版的作品包括几本书和超过240篇的研究论文。Klee于1925年出生在旧金山，在Pomona学院修了数学和化学两个专业。虽然20世纪之前，几乎所有的数学家（如牛顿、高斯、欧拉、拉普拉斯等）不仅在数学，而且在物理或一些其他科学分支均有贡献，但由于专业化的压力，现在这很难得了。虽然Klee的工作大部分集中在几何上，出于理论与应用的考虑，他的工作横跨的兴趣广泛。他在弗吉尼亚大学跟随著名的拓扑学家Edward McShane学习，获得博士学位。他1949年的博士论文题目是“线性空间中的凸集”。 Klee的早期训练和研究是在拓扑学领域——这个学科关注几何对象属性的研究，它超越了角度、距离和与欧几里得几何有关的领域的传统。因此，从拓扑的观点看，直线段和曲线段是一样的，正方形和（欧几里得）椭圆也是一样的，但线段和圆不是一样的。这种拓扑意义下的区别意味着一个圆圈把平面分为内部区域和外部区域，而线段则不能。因此，如果在平面上取不共线的两个点，则可以找到连接这两点的一条曲线，它与该线段没有共同的点。然而，对于圆内一点和圆外一点，连接它们的任何曲线和圆必有一个共同点。这是拓扑学家感兴趣的一种几何信息，而不需要关于距离的信息。 图1：几何集可以看起来不同但是拓扑等价。 Klee职业生涯的大部分时间都是在华盛顿大学（西雅图）度过的；他1953年去那里教书，2000年从那里退休。在华盛顿大学的岁月里，他指导了34个博士生，其中大部分将自己说成是几何学家。他的学生们进而也已经训练出许多其他的几何学家。根据“数学家谱名册”，Klee有100个数学后代（他也有“正规的”孩子及孙辈）。Klee在华盛顿大学的大部分时间里，另一个突出的几何学家Branko Grünbaum也在那里。Klee和Grünbaum同处一地的30年时光使得华盛顿大学成为一个不断发展的新型几何中心。Klee从1971年至1972年担任美国数学会的会长。他对组合学、凸性、算法及优化问题作出了贡献，但他的工作始终有一个强烈的几何风味。要充分认识Victor Klee在最近的几何演变过程中所占的位置，有必要先讲点题外话来简短地看一看几何从古代到近代的演变。 什么是几何 在20世纪的初叶，几何的研究处在一个十字路口上。19世纪末，不仅从数学而且从一般知识的观点中，几何的世界被思想史上的伟大里程碑之一所震撼。 大部分历史中的几何研究支柱一直是欧几里得的《几何原本》。这本书自从出世就已经历尽众多的版本和若干语言的翻译。尽管我们对欧几里得这个人知之甚少，并且没有这本书可以追溯到甚至接近欧几里得生活过的时代的版本，《原本》一直是几何演变的中心。两千年来，《原本》的内容不断让数学保持活力，并激励了许多人成为数学家，特别是几何学家。《原本》中有许多漂亮的结果，包括5个正多面体和素数的讨论。称为欧几里得算法的寻找两个正整数最大共因子的开创性算法，也可以在那里找到。欧几里得著名的第五公设是： “如果与两条直线相交的一条直线同一边的内角之和小于两直角，则这两条直线，如果无限延长的话，将在满足上面条件的那一边相交。” 对许多人而言，这似乎比其他公理更为复杂，人们试图使用其他公理通过逻辑法则来证明这个公理。直到19世纪后期人们才认识到这些努力注定要失败。这项工作是由高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基作出，但只有后两位发表了他们的研究结果。所出现的是激动人心的一些几何。它们通常被称为“古典非欧几何”，它们由把第5公设修改为“不存在通过给定的 点与直线 平行的直线”或“存在许多通过给定的 点与直线 平行的直线”而诞生。经典非欧几何之一是射影几何。你可以把