3.3定积分的应用.doc

§ 3.5 定 积 分 的 应 用 (一) 教学目的：掌握平面图形面积、几何体体积、平面曲线弧长的计算公式． (二) 教学内容：平面图形面积、几何体体积、平面曲线弧长的计算公式的推导以及应用；用微元法计算变力作功问题。 (三) 教学要求： (1) 本节的重点是平面图形面积、几何体体积、平面曲线弧长的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握． (2) 领会微元法的要领． 一、 微元法 1．能用定积分计算的量， (1) 与变量的变化区间有关； (2) 具有可加性； (3) 可近似地表示成。 2的定积分表达式步骤 (1) 根据问题，为积分变量，； (2)分成若干小区间，， 的近似值 ( 为上一连续函数) 则称为量的元素，。 (3)的元素作被积表达式，为积分区间， 这个方法叫做微元法，的元素的微分表达式 . 二、平面区域的面积 1、直角坐标的情形 ① 由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所 围成的曲边梯形面积。 其中：。 ② 由曲线 与 及直线 ，( )所围成的图形面积。 其中：。 1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。 ：1 解方程 , 得交点： 。 2为积分变量，. 3. 给出面积元素 在上， 上， 4. 列定积分表达式 . 2、极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线，。 取极角为积分变量， ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，的窄曲边扇形。 ， 的窄圆边扇形的面积来代替，。从而得到了曲边梯形的面积元素 ， 从而 . 例2 计算心脏线所围成的图形面积。 ： ， 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，。 直线，轴所围成的曲边梯形，轴旋转一周而生成的立体的体积。 为积分变量，，上的任一区间，轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，。：， 所求的旋转体的体积为： . 例3 求由曲线及直线，轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。 ：为积分变量，，. 2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 ) 由旋转体体积的计算过程可以发现：，。 轴， ，轴的两个平面之内， 表示过点且垂直于轴的截面面积。 为积分变量，。上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，的扁圆柱体的体积。 ： 。于是， 例4 计算椭圆 所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。 ：及轴所围的图形绕轴旋转所生成的立体。处，轴的平面去截立体所得截面积为： ，。 四、 平面曲线的弧长 1、直角坐标情形 设函数在区间上具有一阶连续的导数，的长度。 为积分变量，,在上任取一小区间，可以用它的弧微分来近似。， ， 弧长为：。 例5 计算曲线的弧长。 ：。 2、参数方程的情形 若曲线由参数方程给出，， ， 的形式，从而有：。 例6 计算半径为的圆周长度。 ： ， ，。 3、极坐标情形 若曲线由极坐标方程给出，，，。 ，变成了参数， ， 从而有：。 例7 计算心脏线的弧长。 ： 的球沉入水中，， 1 ，，? 解： 将高为的球缺取出水面，为： ：，，。 有 从而 。 从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。 为积分变量，，对于上的任一小区间，从到这段距离内所作的功。 作业： P. 389-391 第一次1(2)(4)(6)(8)(10),2(1)(3)(5) 第二次 3,4,5,6,7 第三次 8,9,10,11,12 1