厦大极限方法技巧讲座.ppt

厦门大学第十届“景润杯”数学竞赛暨第五届全国大学生数学竞赛系列讲座; 第一讲  极限的理论与方法 ; 极限的思想是近代数学的一种重要思想方法， 极限理论是高等数学的重要基础，它贯穿于整个 高等数学的始终。; 极限的思想方法是微积分的基本思想，也是高 等数学与初等数学的本质区别所在。高等数学之所 以能解决许多初等数学无法解决的问题，例如瞬时 速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题 正是由于采用了极限的思想方法。 ; 求极限的方法是多种多样的，有的还需要较高 的技巧，因此要较好地掌握极限的方法，需要我们 在平时的学习中不断地总结、归纳、类比、记忆。 更为重要的是还要善于把所学过的知识串起来，并 加于灵活运用。 ;1、 用导数定义求极限;例1 计算;例2 设;1、计算;2、 设f(x)在x0处二阶可导;2、用拉格朗日中值定理求极限;例1 计算;例2 计算;1、 计算;2、计算;3、用等价无穷小代换求极限;证：由拉格朗日定理和题设条件;由此命题，可得到如下的等价代换式子。它给求极限带来很大方便。;x在某种趋近方式下，且 ?(x)??(x);解：利用等价关系式子;解：利用等价关系式子;解：利用等价关系式子;1、 计算;2、设;对乘除运算求极限，利用等价无穷小代换简便而有效，但对加减运算下的无穷小代换则需特别注意。下面定理给出了加减运算求极限时可以进行等价代换的条件。;命题证明:只需证;由等价关系(5);1、 计算;Talor公式是用多项式逼近函数的一种有效工具，具有广泛的应用。带有Peano余项的Talor公式常被应用在求极限的过程中。;例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且;（洛比达法则）;1、 求;例1 ;还有其它的方法放大吗？ ;证: ;例3. ;例4. ;例5;例6;Stolz定理;证：;例2;1、;定理;例3　;1、 求; 当所求的极限表达式是连乘积形式，或可表成n项之和的形式时，可联想到用定积分的定义来求极限。;例1 求极限;例2 设;我们把例2的解题思路归纳总结并一般化;例3;1、求; 若级数 收敛，则有下列两条性质：;例1 求极限;例2 设;另证：由于;例2. ;例3 设;将上面的不等式相加，;即;1、求; 11、用???调有界定理求数列极限;数列单调性的证明，通常方法是：;这是因为：若x1≤x2,由f(x)的单调递增性有; 当某种数列{xn}是由递推关系; 例3 已知; 由;举一反三练习