厦门大学短学期acm班4讲解材料.ppt

厦门大学ACM班 * * 第四讲 递推求解 * * 先来看一个超级简单的例题: 有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？ 如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。 * * 显然可以得到如下公式: 化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2 * * Fibnacci 数列： 即：1、2、3、5、8、13、21、34… * * 思考: 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？） * * 简单思考题: 在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。 * * 是不是这个—— F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n; 化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1; * * 思考:如何用递推解决? 结论—— F(n)=F(n-1)+4(n-1)+1 * * 另外一种结论: Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n^2 – n + 1 为什么? * * 总结：递推求解的基本方法： 首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。 最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。 强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定只是从N-1到N的分析 * * 问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。 思考题：平面分割方法 * * F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1) 简单分析—— 1 1 3 2 4 1 2 3 4 6 5 7 8 1 2 3 4 5 6 7 10 8 9 11 12 13 14 n=1 n=2 n=3 n=4 2 * * 在2×n的长方形方格中,用n个1×2的骨牌铺满方格, 例如n=3时,为2×3方格，骨牌的铺放方案有三种(如图), 输入n ,输出铺放方案的总数 思考题（2046）： * * 有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺满方格。例如当n=3时为1×3的方格（如图），此时用1×1，1×2，1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。 输入： n（0=n=30）; 输出： 铺法总数 再思考题： * * 仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用1×1,1×2,1×3三种铺法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4 典型例题 分析过程： * * 最后一个思考题（有点难度） * * 分析过程（1） 设：F(n)表示n个人的合法队列，则： 按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1); * * 2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况： 分析过程（2）