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“错”比“对”更耐人寻味 “纠错”比“解题”更发人深省 ——基于《等腰三角形》教学行程中的思考与认识 浙江省宁波外国语学校 郑瑄 315000 梁启超先生在《成败》一文［1］中写道：天下岂有终身不经失败之人哉！做过不如错过，错过不如错得多。失败者实天惠之学校也，能受此天惠与否，则亦视其人也已矣。 来自学生抑或教师的错误，都是一个非常值得珍视的资源［2］。因为，由着这个错误的源头追索、反思，不仅能走出误区，而且还会另有一番风景豁然眼前，别有洞天。这是最为难得的。 笔者在《等腰三角形》的教学行程中，碰到一些颇有意味的教学案例，在咀嚼、回味的同时，更有一些教学感悟和思想油然而生，如今撰文，以飨同仁。 1 一个定理的证明 1.1 来自教师的信息 笔者曾经作为评委参与了一场高级职称的评定。在说课这个环节中，参评教师拿到的题目是：就等腰三角形的判定——如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，进行教学片断的说课。 根据当时的纪录：100%的教师都指出，定理的证明是本节课的重点和难点，并且都引导学生添加辅助线（如图①）：作∠A的平分线（教科书上的方法）；约70%的教师指出，还有其它的辅助线添法，比如说作BC边上的高线；约4%的教师指出，辅助线的添法可以作∠A的平分线，也可以作BC边上的高线，但是作BC边上的中线是不行的；其中有一个教师指出，可以不添辅助线证明此定理。 1.2 课堂教学中学生的动态及其教学的导向 笔者在本节课教学的开课伊始，让全体同学动手画一个等腰三角形，于是，各种各样的画法呈现在全班同学的面前。当然，判定定理所昭示的方法也在其中。那么，画法的正确性必然是需要探究和论证的。怎么证明呢？ 生甲：可以作△ABC的角平分线AD，然后利用AAS判定AB、AC所在的两个三角形全等. 师：OK！（此举得到了所有同学的认可，而且，受之启发跃跃欲试者纷然.） 生乙：还可以作BC边上的高线，也是利用AAS判定AB、AC所在的两个三角形全等. 图① 师：很好！还有其它方法吗？ 生丙（急切地）：作BC边上的中线. 师:请同学们将丙同学提供的证明思路叙写出来. (很快的，有一股强烈的声音在涌动：不行，三角形的全等不能得证！因为现有的条件是两边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等.) 众生（嚷嚷）：老师，作中线不行啊！ 师：作中线果然不行吗？作中线一定不行吗？作中线绝对不行吗？？？ （空气有些许沉寂，众生开始思索，继而有议论声起．） 生丁（沉吟地）：我认为作中线也是可以的，只是略麻烦一些，需要证明两次全等． 生戊E、F，先利用角平分线的性质证明DE=DF，再分别利用HL证明△DEB≌△DFC、 △AED≌△AFD. 生庚：我认为，事实上戊同学和己同学的思路是一致的。 （众生饶有兴味地看着、听着、思考着……） 师：各位同学，事实上，不添辅助线也可以证明．（如图④） （众生期盼.） 师：在△ABC与△ACB中， ∠A=∠A BC=CB ∠B=∠C ∴△ABC≌△ACB（AAS） ∴AB=AC（全等三角形对应边相等） ∴△ABC是等腰三角形 （哇！It is very interesting !） 图④ 图③ 2 “三线合一”引发的谬误和感悟 2.1 一个经典的错误 已知：如图⑤，在△ABC中，D为BC中点，AD平分∠BAC 求证：AD⊥BC 证明：∵AD为BC边上的中线，AD平分∠BAC（已知） ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一） 　　　　　　　　　　　　 2.2 探究其实质 图⑤ 中国古典哲学的一个根本观念——“天人合一”，那是一种完美的境界。笔者以为等腰三角形的“三线合一”，那也是一种十分优美的意境。 事实上，学生们对于等腰三角形“三线合一”这种极其直观、对称的美感是认同而接受的，而且，它可以替代以往冗长的全等证明，充分彰显了数学的简洁之美。 但是，不可否认的是，学生们对于等腰三角形“三线合一”的理解，有时会陷入一种混乱状态，原因就是对其实质的理解产生模糊，“三线合一”的前提条件，必须是等腰三角形。 我们不妨提出一个新的命题： 在△AB