1999年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题解答.doc

1999年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题解答 数列的前60项的和是，其中a和b是互质的正整数，那么a+b= 46 解： = ∴ a+b=46 ABCD是一个正方形，它是由4个小正方形所组成的，E和F分别是AD和AB的中点，如果△EFC的面积是54，那么AB= 12 解：设小正方形面积是S，则大正方形面积是4S △EFC的面积是4S-2 S-0.5 S=1.5 S ∴ 1.5 S=54，∴ S=36 ∴ 4S=36×4=144 从而 AB=12 如果正整数n，使得也是正整数，那么这样的正整数n有 8 个。 解： 要使也是正整数，则n-7必须是24的约数，即n-7=1、2、3、4、6、8、12、24，共8个 在5、6、7、8、9、10这六个数字之间分别填上加减乘除四则运算符号，并允许添括号，但不改变数的顺序，使最后结果为2000，这样的算式可以是5×[6×(7×8+9)+10]=2000 边长分别是6、7、9、10、11、14的等角六边形ABCDEF，内接于一个边长为30的等边三角形中，如图所示，同样，这个等角六边形也能内接于另一个边长为n的等边三角形中，n≠30，那么 n= 27 解：如图，这个等角六边形也能内接于另一个边长为27的等边三角形。 8个互不相等的分数，其中每7个的和都是分母为24的正的既约真分数(分子与分母的最大公约数是1的真分数)，那么这8个分数的和是 解：设8个互不相等的分数分别是a1、a2、a 3、a 4、a 5、a 6、a 7、a 8 分母为24的正的既约真分数一共有8个 则7×(a1+a2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8)= ∴ a1+a2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8= 一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体，如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数等于 36 解：不带红色的小正方体的个数等于7，说明这个长方体是3×3×9的长方体 那么两面带红色的小正方体的个数等于28+4+4=36 从100到999这900个自然数中，使得每一数中的一个数码是另外两个数码的平均数，那么这样的三位数共有 112 解：因为一个数码是另外两个数码的平均数，则这三个数码可分类如下： 0、2、1；0、4、2；0、6、3；0、8、4；1、3、2；1、5、3；1、7、4；1、9、5 2、4、3；2、6、4；2、8、5；3、5、4；3、7、5；3、9、6； 4、6、5；4、8、6；5、7、6；5、9、7；6、8、7；7、9、8。 那么这样的三位数共有：16×6+4×4=112个 图中的四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，如果AE=80，BE=60，CE=40，DE=30，那么丙、丁二个三角形面积和是甲、乙二个三角形面积和的 倍。 解：S甲：S丁=80：40=2：1；S乙：S丁=60：30=2：1 ∴S甲=2 S丁，S乙=2 S丁 S丙：S甲=60：30=2：1 ∴S丙=2S甲=4 S丁 S丙+ S丁=4 S丁+ S丁=5 S丁 S甲+ S乙=2 S丁+2 S丁=4 S丁 ∴丙、丁二个三角形面积和是甲、乙二个三角形面积和的 数除以6所得的余数是 1 解： ∵除以6所得的余数都是4 ∴除以6所得的余数就是1+4×99=397除以6所得的余数，是1 而19除以6所得的余数也是1，∴除以6所得的余数是1。 从0，1，2，…依次一直写到1000000，那么这些数的所有数码的和是 解： 如果一个两位数除以它的各位数字的和，那么所得的最大的余数可能是 15 解：设这个两位数为10x+y，则 因为求最大可能的余数，所以从最大的99÷18开始 算，也即81÷18开始算 81÷18余数是9，81÷17余数是13，72÷17余数是4，72÷16余数是8，81÷16余数是1 63÷16余数是15往下就不要算了，所以所得的最大可能的余数是15。 一个矩形ABCD被分割成九个小矩形，且这些小矩形的面积如图所示，那么矩形ABCD的面积 是 某同学买某种铅笔，当他买了a支，付了b元(a、b都是整数)。营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你就节省2元钱”。那么a= 5 支，b= 1元 解：∵a、b都是整数，∴b=1