数无形时少直观.doc

数缺形时少直观，形少数时难入微 ((例谈数形结合思想方法的应用 石志群 数形结合既是一种数学方法，更是一种数学思想，是转化思想的一种重要形式。数形结合包括两个方面：将代数问题转化为几何问题，利用图形的几何性质加以研究；将几何问题转化为代数问题，借助于代数的工具进行分析，如解析几何的基本思想就是用代数方法研究几何问题。 对数形结合的方式和功能是大家共知的，如何合理运用与综合运用却是值得深入研究的问题，下面我们通过具体问题对此进行探讨。 一、以形助数，增强直观 例1 (2005年高考上海卷第16题)设定义域为R的函数 f(x)= 则关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的条件是 A b0且c0 B b0 且c0 C b0且c=0 D b≥0且c=0 分析 函数f(x)的图象如图，对于每个正数，与之对应 的自变量有4个，而函数值为0的x有3个，故要原 方程要有7个不同的实数解，关于t的方程 t2+bt+c=0 有1个正根和1个0根，故b0 , c=0。应选C 本题借助函数图象揭示了方程根的分布规律。 例2 已知向量=(2,0)，=(2,2)，=(cos(,sin()，求向量与向量的夹角的取值范围。 分析 正常思路是用数量积求向量与向量的夹角( 的余弦，而cos(是一个关于( 函数，且这个函数的值域很难求(读者不妨一试)。 注意到A点在以C(2,2)为圆心的圆周上运动，根据右图 即求∠BOA的取值范围。 作圆C的切线OD，其中D为切点，则由CD=， OC=2，CD⊥OD可知∠COD=，因为∠COB=，所以与向量的夹角的取值范围是[,]。 本例借助图形的几何性质避免了繁复的运算。 例3方程x+2x=3的解为(，x+3x=3的解为(，则(与(的大小关系是 。 分析 为了使结构同化，可将两个方程变形为2x=3-x和3x=3-x，则(、((( 。 本例通过构造函数将方程解的问题转化为函数 图象的交点问题，从而借助图形的直观观察获得结论。 二、以数定形，细致入微 例3已知抛物线C：y=x2+bx+c及直线l：y=x+1，那么“- +1”是“C与l有两个公共点”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 分析 从几何角度看，“- +1”等价于“抛 物线C的顶点在直线l的下方”，粗略地看，好像是 直线与抛物线相交的充要条件，其实这只是充分条 件。要得到这个问题的正确答案，方法之一是考虑 全面，构图正确，即也要想到还有其它情形，不能 以偏概全(如下图)；方法之二就是运用方程思想进行 代数研究： 将抛物线C与直线l的方程联立并消去y得 x2+(b-1)x+c-1=0，则C与l有两个公共点等价于这个方程有两个不等实根，即(b-1)2-4(c-1)0，(b-1)24c-4，而- +1等价于(b-1)24c-3，它显然是(b-1)24c-4的充分条件。 例4 方程sinx=lgx的实数解的个数是 A 1个 B 2个 C 3个 D 大于3 分析 因为这是一个超越方程，用求解法非常困难，不是我们能够解决的。数形结合，对函数y=siny与函数y=lgx的图象的交点 进行观察是解决问题的有效途径，但如果不对 图象进行代数分析从而准确作图，就可能得出 错误的结论(如上图)。 注意到正弦函数的有界性：最大值为1，而 对数函数值为1时的自变量x的值为10，且对数 函数单调递增，这说明对数函数的图像过点(10,1)， 在(10，+()上方程无解，而在(0,10)上两函数图像有3个交点，故答案为C。 本例关键在于运用代数方法研究函数图像的范围，并对图形趋向作出正确判断，从而准确画图。 三、形数结合，相得益彰 例5 方程= kx有3个实数解，求实数k的取值范围。 分析 本题可转化为求函数y=的图像与 直线y=kx的交点个数。 作出函数y=的图像，由于直线y=kx 经过原点，随着k的变化绕原点旋转，用运动的观点分析：当k=0时，有1个公共点(1,0)，这是容易看出的。当k0但绝对值较小时，有几个交点？很显然，在左支上有1个交点，右支上有几个？看上去只有1个，但继续旋转时又可以有2个，是这样吗？如果是，1个与2个的分界值是什么呢？如果继续旋转，又发现在转到相切的位置时变成了1个公共点，相切时对应的k值如何求呢？要解决这些问题就又要用代数的工具((方程了。 对右支曲线，其方程为y2=x-1(y≥0)，将其与y=kx联立，因为k0，所以消