微积分7-8方向导数与梯度.pptVIP

定理: 例2. 求函数 例3. 设 Ex 函数 解答提示: 备用题 1. * 第七章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数与梯度 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度方向）爬行． 问题的引出 ⒈ 函数沿某一方向的变化问题——方向导数 ⒉ 变化最快的方向——梯度方向 一.方向导数的定义 即 定义 如果极限 存在, 则将这个极限值称为函数在点 记为 即 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为?, ? ) 的方向导数为 特别: ? 当 l 与 x 轴同向 ? 当 l 与 x 轴反向 向角 方向导数和偏导数的关系： 偏导数是方向导数吗？若是，何方向？ 方向导数存在，偏导数一定存在吗？ 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示 空间曲线(参数方程表示)的切向量。 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向导数何时取得最大值？ 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P ) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量 2. 梯度的几何意义 称为函数 f 的等值线 （等高线）. 其参数形式： 所以任意点处的切向量为： 表示空间一张曲面, 而 表示一条平面曲线, 所以梯度为曲线 上点 处的法向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 解 由梯度计算公式得 故 EX 例 设函数 求 沿什么方向具有最大的增长率, 最大增长率为多少? 解 增长率, 最大的增长率为: 梯度方向具有最大的 梯度方向为 3. 梯度的基本运算公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 数量场 (数性函数) 场 向量场(矢性函数) 可微函数 梯度场 如: 温度场,电位场,密度场等 如: 力场,速度场等 三、数量场与向量场的概念 (物理量的分布) 例4. 证: 试证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模 , 内容小结 1. 方向导数 ? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 ? 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度 ? 三元函数 在点 处的梯度为 ? 二元函数 在点 处的梯度为 3. 关系 方向导数存在 偏导数存在 ? ? 可微 机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影. 解 练习 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 提示: 则 (96考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 (1) 最大值; (2) 最小值; (3)