实变函数与泛函分析基础课件4-3.ppt

第三节 可测函数的构造 可测函数 简单函数是可测函数。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。 鲁津定理 引理： 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时， (2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)， 则 g(x)为有界可测函数，应用(2)即得： 注1：鲁津定理另外一种形式： 例1 对 E R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在R上的连续函数列 使 于E。 * * 第四章 可测函数 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ 可测集E上的连续函数为可测函数。 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）。 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数. （2）任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。 （3）任一可测函数差不多就是连续函数。 当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两 两不交闭集，故f(x)在 上连续，显然F为闭集， 且有 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)ε且f(x)在F上连续。 鲁津定理（Lusin） 由{φn(x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。 利用(1)的结果知 (3)当f(x)为一般可测函数时，作变换 g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则 使得 m(E-F)ε且g(x)在F上连续。 故，f(x)在F上为连续函数。 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数， 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε， 且sup {g(x) |x∈R}= sup{ f(x) |x∈F}； inf {g(x) |x∈R}= inf{ f(x) |x∈F}； （对n维空间也成立） 【分】由鲁津定理： 则 及R上的连续函数g(x) 则 且f(x)在F上连续。 下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。 若f(x)为 上几乎处处有限可测， ai bi 由于FC为R上的开集，根据R上开集构造， FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的 开区间的并： 。 b i ai 则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91） 注2：鲁津定理的逆定理成立。 设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 使得 m(E-F)ε且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可测函数。 从而 令 ，即得我们所要的结果。 证明：由鲁津定理另外的形式知 再由Riesz定理，存在 的子列 使 a. e.于E， 习题选讲 * * *