2011-2012学年高二竞赛数学(文)试题含答案.doc

2011-2012学年高二竞赛数学（文）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项。 1．已知集合,则（ ） A． B． C. D． 2．已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（ ） A.－1 B．1 C．2 D．3 3．已知a、b是实数，则“a1，b2”是“a+b3且ab2”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条 4．函数是（ ） A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D.非奇非偶函数 5. 已知平面向量, , 且, 则m=( ) A 4 B -1 C 2 D -4 6某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 7已知向量，且，若变量x,y 满足约束条件 ，则z的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 8等差数列中，，且成等比数列，则 A． B． C． D． 9以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准 线的抛物线的方程是 A． B． C． D． 10起点到终点的最短距离为 A．16 B．17 C． 18 D．19 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． （一）必做题 11.的定义域__________ 12校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人. 13在中，,且,则的面积是_____ （二）选做题 14.（几何证明选讲选做题） 如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝ . 15.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题共12分）已知函数 （1）求的最小正周期； （2）若,, 求的值 17.（本题满分14分） 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为 (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” . (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率. 18．（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点. （1）求证：面； （2）求证：； 19. （本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 20. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程． 21．（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为 （1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围； （3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。 高二级数学科竞赛试卷 （文 科） 答题卡 一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 题号 1 2 3 4 5