高等代数(II)练习1-配套answer.doc

高等代数（II）练习1参考答案 一、选择题（每题3分，共15分） 1. C 2. A 3. B 4. C 5. A 二、填空题 (每空3分, 共15分） 1. 2. 3 3. 4. 1125 5. -3 三、解：的矩阵及标准形的矩阵分别为 ………… （2分） 已知的特征值为，由于 。 又 得 从而解出 …………(6分) 当 解方程组得基础解系 将其标准正交化： 同理对应的特征向量，单位化为 ……（13分） 所以，所求的正交变换为 …………（15分） 四． 显然 有，则是的子空间. ………（2分） 易见 ，基底： ………（5分） 五、解: 1、设则 ，而。 所以是的一组基。 ………（2分） 2、………（4分） 所以是线性变换。 所以 ………（10分） 六．证明：(1) 假设线性相关，则存在全部为零的数使得 设是第一个不为零的系数，则则 两边作变换次得， 由于，从而矛盾。 ………… (6分) (2) 线性无关, 所以是的一组基， 而且在这组基下的矩阵就是。 …………(10分) 七、证明：(1) 只须证明对于 有 则是的子空间 …… (4分) (2) 将标准正交化为，并将扩充为的一组标准正交基. 显然。由于都属于，则 又，故，又线性无关， 从而。 于是。 ………… (10分) 八、证明：1)首先验证A是线性变换: AA A ………（2分） 然后验证A是正交变换: A A …………（4分） 2)将扩充为的一组标准正交基，则A在基下的矩阵 所以 ，因此A是第二类的. …… (10分) 九、证明：（1）由知，的特征值. …… (5分) 设，则正交，由此可得. …… (8分) 所以,的另一特征值为,对应的特征向量为,为任意非零常数。 …… (10分) 第 1 页 共 4页