离散数学第一节幻灯片讲稿.ppt

1.2.3 析取联结词 定义1.3　设P,Q为任意二命题，复合命题“P或Q”称为P和Q的析取式。记作P∨Q，读作“P或Q”，∨称为析取联结词。 P∨Q的逻辑关系为P与Q中至少一个成立。P∨Q为真当且仅当P与Q中至少一个为真。 命题P∨Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。 P Q P ∨ Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1.2.3 析取联结词 联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。但自然语言中的“或”既可以是“排斥或?”也可以是“可兼或?”。 例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。（排斥或） 例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。（可兼或） 例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。（既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结词，故例1.8是原子命题。） 1.2.3 析取联结词 由以上例子可以看出联结词“∨”和自然语言中的“或”的意义不完全相同。 与“∧”联结词相似，在自然语言中，通常是具有某种关系的两条语句之间使用析取“或”，但在数理逻辑中，任何两个命题都可以通过用析取“∨”联结起来得到一个新命题。 例1.9 设 P：今天打雷 Q：今天打闪 则 P∨Q：今天打雷或今天打闪 例1.10 设 P：今天是星期一 Q：今天天气很好 则 P∨Q：今天是星期一或天气很好 1.2.4 蕴涵联结词 定义1.4 设P,Q为任意二命题，复合命题“如果P，则Q”称为P和Q的蕴涵式，记为P ? Q，读作“如果P则Q”。 ?称为蕴涵联结词。称P为前件，Q为后件。 P ? Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。P ? Q为假当且仅当P为真Q为假。 命题P? Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。 P Q P ? Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1.2.4 蕴涵联结词 说明： 1）蕴涵联结词也称为条件联结词。“如果P，则Q”也称为P与Q的条件式。 2）蕴涵式的真值关系不太符合自然语言中的习惯，这一点请读者务必注意。 3）给定命题公式P?Q，命题公式Q?P称为P?Q的逆换式；﹁P?﹁Q称为P?Q的反换式；﹁Q?﹁P称为它的逆反式。逆换式类似于中学数学里所学的命题的逆命题；反换式类似于否命题；逆反式类似于逆否命题。 1.2.4 蕴涵联结词 例1.11 甲对乙说：“如果今晚我们班上不开会，则我就和你一起去玩。”请问：在什么情形下，乙认为甲的这句话是假？ 解：如果班上没有开会，甲与乙一起去玩，则自然认为甲说的话为真； 如果班上开会了，甲没有与乙一起去玩，则没有理由认为甲的话为假； 如果班上没开会，甲没有与乙一起去玩，则显然认为甲的话为假； 如果班上开会了，但甲未参加而与乙一起去玩了，则也不能认为甲的话为假。 在自然语言中，对于“如果……则……”这样的语句，当前提为假时，结论不管真假，这个语句的意义是无法判断的。因此在条件命题中，当前提为假时无论结论真值如何，其取值都为真的情况称为“善意的推定”。 1.2.4 蕴涵联结词 例1.12 设 P：明天天气晴朗 Q：我们就去郊游 则 P ?Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游。 例1.13 设 P：a＞4 Q：a2＞16 则 P?Q：如果a＞4，则a2＞16。 对于“如果P则Q”在日常语言中有多种表达方式，诸如“只要P就Q”、“当P则Q”、“因为P所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”、“除非Q才P”、“除非Q，否则非P”等。尽管叙述的方式表面看起来不同，但只要表示Q是P的必要条件，都可以符号化为P?Q。 1.2.5 等价联结词 定义1.5 设P,Q为任意二命题，复合命题“P当且仅当Q”称为命题P和Q的等价式。记为P ? Q，读作“P当且仅当Q”， ?称作等价联结词。 P ? Q的逻辑关系为P与Q互为充分必要条件。P ? Q为真当且仅当P与Q同时为真或同时为假。 命题P ? Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。 P Q P ? Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1.2.5 等价联结词 说明： 1）等价联结词也称为双条件联结词。“P当且仅当Q”也称为P与Q的双条件式。 2）“P当且