第13章 投资分析研讨：Black-Scholes 期权定价模型(投资学课件-厦门大学,王艺明).ppt

投资学 第13章;概 述;无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票 对卖空没有任何限制 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动;B-S模型证明思路;13.1 维纳过程;（13.1）;满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有;证明： ;13.2 ITO定理;一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。 漂移率和方差率为常数不恰当;B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动;ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）;证明：将（13.7）离散化;在连续时间下，即;即Δx2不呈现随机波动！;由（13.10）可得; 由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即;13.3 B-S微分方程;假设某投资者以δ份的标的资??多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足;下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内收益为;注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较小（不采用连续复利），则;B-S微分方程的意义;若股票价格服从几何布朗运动;令;由（13.1）;则称ST服从对数正态分布，其期望值为;13.5 B-S买权定价公式;（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻的股票价格的期望值为;（13.14）;（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为;由于ST服从对数正态分布，其pdf为;（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项;（13.19）; 将（13.19）与（13.18）内的第2个指数项合并，即;将（13.20）代入（13.18）;Date;y的积分下限为;将dy与y代入（13.21），即有;下面证明B-S公式中的第2项，;则z的积分下限;将z和dz代入;则由（13.22）和（13.23）得到;pr;B-S买权公式的意义;其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。 假设两个N(d)均为1，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了现值Xe-rT的债务。 期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函数，具有如下性质;Factor Effect on value Stock price increases Exercise price decreases Volatility of stock price increases Time to expiration increases Interest rate increases Dividend Rate decreases;So = 100 X = 95 r = 0.10 T = 0.25 (quarter) ???= 0.50 d1 = [ln(100/95) + (0.10+(0?5 2/2))] / (0?5?×0.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + ((0?5???0.251/2) =0.18 N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714;Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70 P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)];13.6 看跌期权的定价;组合A到期时刻T的收益;从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。;标的资产价格;13.7 有收益资产的欧式期权定价;对于欧式期货期权，其定价公式为;根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项;命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1);Date;利用Delta进行套期保值