第2章讲_非线性方程求根.ppt

第7章 非线性方程求根;7.1 方程求根与二分法;7.1.1 引言;方程f(x)=0的根x*，又称为函数f(x)的零点，它使得f(x*)=0，若f(x)可分解为;　　n=1,2时方程的根是大家熟悉的，n=3,4时虽有求根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合数值计算，而n≥5时就不能用公式表示方程的根.因此，通常对n≥3的多项式方程求根与一般连续函数方程(1.1)一样都可采用迭代法求根.; 若 f(x)在[a,b]内连续, 且 f(a) · f(b)0, 则 f(x)=0 在[a,b]内必有根; 若f(x)在[a,b]内还严格单调, 则f(x)=0在[a,b]内只有一根, 据此可得求隔根区间的两种方法.; 例1 判别下列方程有几个实根，并求隔根区间. (1) f(x)=x3-x-1=0, (2) f(x)=x4-4x3+1=0. ; f?(x)在此三个区间上的符号分别为“-”、“-”、“+”, 又知 f(-∞)0, f(0)=10, f(3)=-260, f(+∞)0.;7.1.2 二分法; 对压缩了的有根区间, 又可实行同样的步骤, 再压缩. 如此反复进行, 即可的一系列有根区间套; 若取区间[an , bn]的中点; 例2 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根,要求误差不超过0.005.;n;　　二分法的计算步骤:;7.2 迭代法及其收敛性;可以如此反复迭代计算;当?(x)连续时，显然x*就是方程x=?(x)之根(不动点). 于是可以从数列{xk}中求得满足精度要求的近似根. 这种求根方法称为不动点迭代法, ;分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下：;准确根 x* = 1.124123029, 可见迭代公式不同, 收敛情况也不同. 第二种公式比第一种公式收敛快得多, 而第三种公式不收敛.; 例3表明原方程化为(2.1)的形式不同，有的收敛，有的不收敛，有的发散，只有收敛的的迭代过程(2.2)才有意义，为此我们首先要研究?(x)的不定点的存在性及迭代法(2.2)的收敛性.;7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性;显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=?(a)-a0, f(b)=?(b)-b0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0，即x*=?(x*)，x*即为?(x)的不动点.; 定理2 设?(x)∈C[a, b]满足定理1中的两个条件，则对任意x0∈[a, b]，由(2.2)得到的迭代序列{xk}收敛到的不动点x*，并有误差估计式;　　下面证明估计式(2.5)，由(2.4)有;　　又由于对任意正整数p有; 对定理1和定理2中的条件2o可以改为导数，即在使用时如果?(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有;　　例如，在前面例3中采用的三种迭代公式，在隔根区间(1, 1.2)内，有;7.2.3 局部收敛性与收敛阶; 定理3 设x*为?(x)的不动点，　　 在x*的某个邻域连续，且 ，则迭代法(2.2)局部收敛. ; 例4 用不同迭代法求方程x2-3=0的根 .;取x0=2, 对上式4种迭代法, 计算三步所得结果入下表.; 注意 ，从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件，迭代法(3)和(4)均满足局部收敛条件，且迭代法(4)比(3)收敛快，因在迭代法(4)中??(x*)=0. 为了衡量迭代法(2.2)收敛速度的快慢可给出以下定义.; 定理4 对于迭代过程xk+1=?(xk)，如果?(p)(x)在所求根x*的邻近连续，并且;因此对迭代误差，令k→∞时有;的三阶方法. 假设 x0 充分靠近 x*, 求;练习;7.3 迭代收敛的加速方法;　　假设??(x)改变不大, 近似地取某个近似值L, 则有;在计算了x1及x2之后，可用上式右端作为x*的新近似,记作?x1，一般情形是由xk计算xk+1, xk+2，记;也称为埃特金 ( Aitken ) 外推法. 可以证明:; 例题 求方程 x = e –x 在 x=0.5 附近的根.;仍取 x0=0.5 , 得;7.3.2 斯蒂芬森(Steffensen)迭代法;把误差ε(x)“外推到零”，即过(xk,ε(xk))及(yk,ε(yk))两点做线性插值函数，它与x轴交点就