第一章讲 算法概述.ppt

算法设计与分析导论 ;第1章 算法概述; 电子计算机的出现是本世纪的一件大事，因为它改变了我们这个世界的面貌。可以毫不夸张地这么说，今天人们依赖于计算机，就象人们依赖于电力，如果它暂停了，社会就无法运转。 快速电子计算机贵在神速，也就是它的运算速度快，同时它的发展之迅速也是惊人的。从每秒5000次运算，发展到现在的运算速度每秒数千亿次运算。元器件从继电器、真空管、晶体管、集成电路、大规模集成电路，发展到超大规模集成电路。结构上从每台机器作为运算工具的“单兵作战”模式，发展到今天将范围遍及各大洲的计算机网络，算法也从单机的串行计算发展到网络上并行的分布计算。; 一台作109次/秒运算（1G）的计算机的效率超过10亿人同时工作。它可以作中期的天气预报，可以控制庞大的化工厂生产过程，以至于还可以驾驭现代化战争，从这个意义上来说它确实是近乎神奇的。不过必须强调的是这些都是在人的安排下进行工作的。比如人们利用计算机作天气预报，必须依据天气变化规律，作出它的偏微分方程数学模型，以及编好程序，指导计算机按照人的安排一步步地工作，计算预报数据，绘制气象云图。 这就是说，计算机虽然神通广大，还是在人的控制下工作。同时还应说明计算机并非什么都能做，有的事情理论上它根本做不了。讨论哪些事计算机能做，哪些事计算机做不了，属于可计算性理论研究的范畴。还有一些问题理论上计算机虽是能做，但实际上又是不可能完成的。; 比如拿最简单例子，26个英文字母全排列，它的排列数为： 26！≈4×1026 以每年365天计算，共有 365×24×3600＝3.1536×107秒 以每秒能完成107个排列的超高速电子计算机来做这项工作，需要 4×1026/(3.1536×1014)≈1.2×1012年 即使计算机运行速度随着技术的提高，恐怕也还是不可能实现的。因计算机的速度再提高也有它的极限。 ; 任何一项计算，总要事先拟定计算方案和规划计算步骤。为使计算机的计算过程能够解决某一问题，必须为计算机设计执行的解决方案中的每个详细步骤，并且将此过程完整地描述出来。所谓算法是对某个问题求解方案的完整而明确的描述。 与算法有关的还有一个大家熟悉的公式： 程序=算法十数据结构 也就是说，算法设计和程序设计是不完全相同的。由于数字计算机运算速度很高，是人工手算所不能比拟的。为了充分发挥计算机的这种优点，在用计算机求解问题过程中，应尽量减少人工干预。因此，必须先将所制定的解决方案“告诉”计算机，使计算机按照人们规定的计算顺序去自动执行。用计算机能接受的“语言”来描述解题步骤，这项工作叫做程序设计，它还包含了需要使用合适的数据结构。; “算法设计与分析”是研究算法的一门学科。它还很年轻远未定型，还处在发展中。有人说“计算机科学是一门研究算法的科学”。不论这个说法是否全面，算法无疑是计算机科学的重要组成部分。它近来发展极其迅速。“算法设计与分析”已是计算机专业本科生的一门必需掌握的内容。 1.一些有趣的问题 (1) 巡回推销员问题:设有n个城市，已知任意两城市间之距离，现有一推销员想从某一城市出发巡回经过每一城市（且每城市只经过一次），最后又回到出发点，问如何找一条最短路径。;设距离矩阵如下： ; (3）设天平有一些25克的砝码，一些10克的砝码，一些5克的砝码和一些1克的砝码。现要称63克的物体，问至少需要用几个砝码。 (4）背包问题1：有一旅行者要从n种物品中选取不超过b公斤重的行李随身携带，要求总价值最大。 例：设背包的容量为50千克。物品1重10千克，价值60元；物品2重20千克，价值100元；物品3重30千克，价值120元。求总价值最大。 （5）背包问题2：设有n=8个体积分别为54，45，43，29，23，21，14，1的物体和一个容积为C=110的背包，问选择哪几个物体装入背包可以使其装的最满。 ; （6）装箱问题：设有体积分别为v1,v2,…,vn的n种物品u1,u2,…,un装到容量为L的箱子里。不同的装箱方案所需的箱子数目可能不同，问如何装箱能装完这n种物品且使用的箱子数目最少。 （7）平面图的四色猜想问题：一个平面图是否用四种颜色就可使相邻的区域颜色都不相同？ ;2．研究算法的重要性 假设某一负责人交给你一个很难的任务，几天后询问你问题解决了没有。可能会发生如下图这样的情况： ;问：“交给你的问题，解决方案设计出来了吗？” 答： “我找不到一个有效的算法来解决它，因为 这样的算法是不存在的。” (不过，要证明一个问题不存在有效算法，往往跟寻找有效算法一样难。);问：“交给你的问题，解决方案设计出来了吗？” 答： “我找不到一