定义、命題与证明.doc

知识点一：定义与命题 在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition） 如： 1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义. 2、“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义. 3、“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义. 4、“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义. 5、“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义. 综上：定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定 做一做： 如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染. 图6－6 如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染； 如果C处受到污染，那么__________处便受到污染； 如果E处受到污染，那么__________处便受到污染； 如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流. 在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。 即：命题是判断一件事情的句子。如： 熊猫没有翅膀。对顶角相等。 类比举例： 1、两直线平行，内错角相等. 2、无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数. 3、内错角相等. 4、任意一个三角形都有一个直角. 5、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 综上：命题一般由条件和结论两部分组成，一般可以写成：“如果……,那么……”的形式， 如果开始的部分是条件，那么后面的部分是结论； 命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如： 你喜欢数学吗？ 作线段AB=a. 平行用符号“∥”表示. 这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题. 一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题. 知识点2：证明 一、证明的必要性 1、已知；如下图，a∥b，b∥c直线a，b平行吗? (1)请你先通过观察作出判断.你能肯定自己的判断正确吗? (2)在图24—3(1)中，再作一条直线l，使直线l与直线a，b，c都相交，如图24—3(2).用量角器测量∠1和∠2，根据∠1和∠2的大小关系，你能判定“a与b平行”这一结论正确吗? 2、当n=1时，(n2－5n＋5)2=1； 当n=2时，(n2－5n＋5)2=1； 当n＝3时，(n2－5n＋5)2=1. 由此归纳得出：当n取任意正整数时，(n2－5n＋5)2的值都是1.你认为这个命题正确吗?为什么? 3、如果a＝b，那么a2=b2.由此类比猜想得出：当ab时，a2b2，你认为这个命题正确吗?为什么? 1.(1)a∥b，不能， (2)由∠1=∠2，能判断a∥b 2.不正确.当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝25. 3.不正确，因为0－1，但02(－1)2， 以上事例说明，我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题.但是，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题. 一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断.这个推理的过程叫做命题的证明(proof).我们把经过证明的真命题叫做定理(theorem). 经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫做公理(axiom).如“过平面上两点，有且只有一条直线”就是一个公理.等式和不等式的性质也可以看做公理. 证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理论证的依据. 典型例题 例1、已知：如图，点C，D在线段AB上，点C是AD的中点，点D是CB的中点. 求证：AD=CB. 分析：由“点C是AD的中点，点D是CB的中点”，可以得到AC=CD=DB，进而可以得到AD=CB. 证明：因为 点C是线段AD的中点(已知)， 所以 AC=CD(线段中点的定义). 因为点D是线段CB的中点(已知)， 所以CD=DB(线段中点的定义). 所以AC=DB(等量代换). 所以AC+CD=DB+CD(等式的性质). 即AD=CB. 注：在等式或不等式中，一个量可以用与它相等的量来代替，这叫做“等量代换”. 在上面的证明过程中，我们根据的都是定义、性质和已知条件.在叙述中经常用到“因为”和“所以”这两个词，为了方便，今后，我们在证明时用符号“∵”表示“因为”，用符号“∴”表示“所以”. 二、命题证明的格式和步骤. （明是推理论证命题的过程，要步步有据。） 例1：如图，直线AB和