算法设计与分析研讨5.ppt

BFS 非递归算法 BFS 非递归算法 BFS 相关讨论 BFS 相关讨论 时间效率：同DFS 效率一样。前面讨论DFS的效率时，仅与图的存储 结构（邻接矩阵、邻接链表）有关，与 DFS 或 BFS 无关 应用1：检查图的连通性和无环性，本质上与DFS一样 应用2：求给定两个顶点的最短路径（边数最少，非带权图） 从两个给定的顶点之一开始BFS，当访问到另一个顶点，BFS 结束 从BFS 算法过程看，其正确性不言而喻，但数学上的证明并不简单 说明：这样的最短路径可能不只一条（考虑去掉BG边的图） BFS 树的一部分，确定了从 A 到 G 的最短路径（边数最少） A E B C D F G H A E B C F G 拓扑排序 拓扑排序 ( Topological Sort ) 概述 问题提出 假设要安排一系列任务，如教学计划中的安排各门课程的学习顺序， 项目中各子课题的研究顺序，建筑项目，……等等。每个任务只有 当 前提条件 具备时，才能去完成这个任务。举例如下： —— 只有当学完某课程的全部前修课程后，才能安排该课程的教学 拓扑排序 找到在满足前提条件情况下，各个任务如何安排的一个 线性序列 计算模型 —— 图（顶点：一个任务，边：该任务的前提条件） 1. 有向图：任务之间有先后关系 —— 边有方向 2. 无环图：若有环，回路中就会存在彼此矛盾的条件。（想一想） 不可能在不违反前提条件情况下，为这些任务安排一个 合理的顺序，问题无解（存在矛盾条件） 综合1、2，若拓扑排序问题有解，必须是 有向无环图 拓扑排序：有向无环图 有向无环图 无向图：仅有 2 种类型的边 —— 树边、回边 有向图：可有 4 种类型的边 1. 树边：AB BC DE 2. 回边：BA（无回边: 无环图） 3. 前向边（祖孙边） 当前顶点到孙子顶点的边 AC 4. 交叉边（横跨边） 上述 3 种类型以外的边 DC A E B C D 有向有环图 A E B C D A为起点的DFS森林 A C B E D 有向无环图 去掉BA边则为 有向无环图 拓扑排序算法：DFS法 例1 拓扑排序算法 拓扑排序 DFS 算法 【例1】5 门课程的安排，问题模型如图 A C B E D C 有两门前修课 A B，E 有两门前修课 C D , 必须先安排前修课程。因此，正确次序是： 先安排 A B，然后安排 C ；接下来安排 D， 最后安排 E . 即正确的线性序列序列为： ABCDE 或 BACDE （非唯一解） 任选一个 源顶点 开始 DFS 过程： 源顶点：没有入边，即无前提条件的边 —— 我们选 A 开始 DFS A 到 E 有哪些信誉好的足球投注网站完后，尚有未访问顶点 B，将 B 入栈，从 B 重新开始 DFS . 进栈序列：ACDEB 进栈逆序：BEDCA 出栈序列：EDCAB 出栈逆序：BACDE 问题模型图 B C A E D D F S 森林 拓扑排序算法：DFS 例2 DFS解拓扑排序 【例2】7 个任务的安排 2 1 6 3 7 5 4 2 1 6 3 7 5 4 DFS树 仅有树边 退栈线性序列：7 5 4 6 2 3 1 （或 7 5 4 3 6 2 1） 退栈线性逆序：1 3 2 6 4 5 7 （或 1 2 6 3 4 5 7） 解不是唯一的，与顶点选择策略即路径选择有关 拓扑排序的源删除算法 拓扑排序的源删除算法（减一法） 每次减去一个源顶点 若算法结束（无源顶点），尚有未访问顶点时，问题无解！ —— 存在矛盾条件 顶点的删除顺序即拓扑排序的一个解（不唯一），本例 A B C D E 源删除算法与数据结构 1. 找出全部源顶点并入队。若无源顶点，算法停止。有未访问顶点？ Yes —— 无解； No —— 输出解（记录的顶点序列） 2. 队头顶点出队并记录，删除与该顶点连接的所有边，返回 1 A C B E D C B E D C E D E D E 生成组合对象算法：生成排列 生成组合对象 组合对象：满足一定约束条件的集合 组合数学：指出组合对象有多少个 —— 组合数（通常呈指数级增长） 如何生成：本节内容 生成排列 （前面讲过蛮力法） 生成集合元素