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复变函数与积分变换试题解答2004_精品
复变函数与积分变换试题解答 2004.1.4
系别___________班级__________学号__________姓名___________
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分
得分 评卷人 一、填空(每题3分,共24分) 1.的实部是,虚部是,辐角主值是.
2.满足的点集所形成的平面图形为, 以±2为焦点 ,长半轴为的椭圆,该图形是否为区域 否 .
3.在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价? 是 .
4.的值为;
主值为.
5.积分的值为, 0 .
6.函数在处Taylor展开式的收敛半径是 1 .
7.设, 则其中定义为.
8.函数的有限弧立奇点0 ,是何种类型的奇点? 可去 .
得分 评卷人 二、(6分)设,问在何处可导?何处解析?并在可导处求出导数值. 解:
(2分)
均连续,要满足条件,必须要
成立
即仅当和时才成立,所以函数处处不解析; (2分)
(2分)
得分 评卷人 三、(8分)设求的值使为调和函数,并求出解析函数. 解:因,要使为调和函数,则有
即 (4分)
所以 时,为调和函数,要使解析,则有
,
(2分)
所以
即 ,故
(2分)
得分 评卷人 四、(10分)将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数. 解:的有限孤立奇点为及
(2分)
1)当时
(2分)
2)当
(2分)
3)当
(2分)
4)当
(2分)
得分 评卷人 五、计算下列各题(每小题6分,共24分) 1.,求
解:因在复平面上处处解析
由柯西积分公式知,在内,
(3分)
所以 (2分)
而点 在内,故
(1分)
2.求出在所有孤立奇点处的留数
解:函数 有孤立奇点0与,而且在内有如下Laurent展开式:
(3分)
故 (2分)
(1分)
3.
解:,它共有两个二阶极点,且在实轴上无奇点,在上半平面仅有二阶极点,所以 (2分)
(1分)
(3分)
4.
解:由三角函数公式
(1分)
(2分)
令,则,于是
(1分)
被积函数在内只有一阶极点
,由公式
故由留数定理
(2分)
得分 评卷人 六、(6分)求上半单位圆域在映射下的象. 解:令,则
,
(3分)
故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕.
(3分)
得分 评卷人 七、(8分)求一映射,将半带形域映射为单位圆域. 解:
(2分)
(1分)
(2分)
(2分)
(1分)
得分 评卷人 八、(6分)设在内解析,在闭圆上连续,且,证明:
证:由于
(2分)
(4分)
得分 评卷人 九、(8分)用Laplace变换求解常微分方程:
解:在方程两边取拉氏变换,并用初始条件得
(4分)
即 (2分)
故 (2分)
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