第五章密度矩阵和量子统计.docVIP

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第五章密度矩阵和量子统计

第五章 密度矩阵与量子统计 能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年Von Neumann提出的密度算符方法。 可观察量大量观测后的平均值为 式中,为密度算符,为对矩阵求迹。 通常,,且可对一组基展开 则,和 密度算符为厄密算符,------简单证明! 满足归一化条件,(证明过程!!) 5.1D 二态体系的密度矩阵与极化 取基矢为, 由密度算符的厄密性,可知密度矩阵中含有3个独立实参数。简单说明! 密度算符可写成下面的形式 其中,P为极化矢量。 利用公式,,可证: , -----下面举例说明: 完全极化的密度矩阵, 完全非极化, 在z表象看x轴的完全极化, 部分极化。混合系综有75%的z和25%的x组成, , 则 可得,---极化度 任一个2维矩阵可以分解为Pauli矩阵之和。 §5.2 密度矩阵的运动方程 在Schrodinger表象中,密度算符 初始时刻, t时刻, 运动方程,--master equation或Liouville equation 与Heisenberg方程的相似性? 在自旋1/2的电子二态体系中, 令,则运动方程变为, 连续本征值下的密度矩阵, §5.3极化和散射 5.3A 散射的S矩阵依赖于自旋的情形 自旋1/2的入射粒子波函数(二分量形式): , 可以推测,相应的运动方程在无限远的渐进解形式为, 。 这里,散射振幅S依赖于角度和动量。 通解的形式为: [分析过程]: 从上式分析可知,两个特解为: 则方程的通解为,, 通过对称性分析,确定常数。 假设能够产生与自旋有关的散射的哈密顿量为, 式中,第二项为中心势,第三项为“自旋-轨道耦合” 假设散射势存在球对称性,则与的各个分量都对易。 则为的本征态,相应的本征值为(这里,2个基决定了本征值只有两个,则的本征态只能有2个,量子数只有2个)。 注意:改变转动,不影响径向运动。 本征方程为, 以上可知,的对角项只是的函数,与无关。 考虑体系H在空间反演下保持不变:对y-z平面的空间反演算符是, 规则,。 则空间反演不变要求,在作用下,。经分析,不变,,则可得 综合以上讨论,S矩阵为 引入单位矢量, 推导过程如下, , 这里, 上式表明,入射的非极化束流经散射后的极化束流方向为方向,这是宇称守恒定律的结果。 由上面的讨论可知,给定散射振幅S,可计算给定方向上散射束流的强度,并由渐近解给出微分散射截面,即 ----有自旋。 --------------------无自旋。 ----与极化方向无关。 解Schrodinger方程,则可得的具体形式。 散射后束流的极化方向在微分散射截面中没有显示。 5.3B 极化束流引起散射的左右不对称 密度矩阵, 微分散射截面, 采用极化矢量的记法,则有。 这里,的纵向极化分量为, 横向极化分量为, 则, 从这里可以看出,散射强度对角度的依赖关系, 这是实验上发现的极化粒子束流被散射后呈现左右不对称的表示, 当极化矢量,就退回到无自旋粒子散射的情况。 2009-11-11上课内容 §5.4 量子统计学简介 5.4.A 密度矩阵与熵 用“熵”刻画纯粹系综和混合系综间的深刻区别。 这里, 当为对角矩阵时,。每一个矩阵元均为的数,所以是半正定的。 对于纯粹系统,。 对于混合系综,-----体系状态的混乱程度。 纯粹系综---所有成员均处于同一个量子态,熵取最小值0。 完全混乱的系综---每一个量子态等几率被占据,熵取最大值。 物理上,在给定Hamiltonian下,体系的熵将单调上升,达到热平衡。---- 有密度算符运动方程可知,---可同时对角化,取H的本征态为基。 表示在能量的本征态中体系得占据几率。 取熵的极值, 两个约束条件, Lagrange不定乘子法,取变分,。则 由归一化条件, 利用上式和完备性关系,可得 式中,。 当体系处在高温极限下,存在,则上式变为,表示此时的体系处于完全混乱的状态,不同的本征态被等几率地占据。 5.4B 配分函数 式中,定义为Helmholtz自由能。则相应的密度矩阵可以写为, 一般情况,可观察量的系综平均值为 体系的内能, [例子]:电子在z轴磁场中运动,体系的Hamiltonian为 选取的本征态为体系的基,则密度矩阵为, 配分函数 经计算, 定义单电子的磁化强度, 单电子的磁化率, 在高温极限下,,则 此时,磁化率为,-----居里定律。 5.4C 巨配分函数(体系粒子数不守恒) 体系粒子数算符的系综平均为,----约束。 巨正则系综:体系与周围环境交换能量和粒子。 取熵的极值方程,, 加上约束, 式中,-----巨配分函数。 定义热力学势, 密度矩阵为 (通常称为化学势) [玻色-爱因斯坦统计]:这里考虑全同玻色子组成“理想气体”,体系Hamiltonian为 式中,----玻色

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