第五章密度矩阵和量子统计.docVIP

第五章 密度矩阵与量子统计 能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年Von Neumann提出的密度算符方法。 可观察量大量观测后的平均值为 式中，为密度算符，为对矩阵求迹。 通常，，且可对一组基展开 则，和 密度算符为厄密算符，------简单证明！ 满足归一化条件，（证明过程！！） 5.1D 二态体系的密度矩阵与极化 取基矢为， 由密度算符的厄密性，可知密度矩阵中含有3个独立实参数。简单说明！ 密度算符可写成下面的形式 其中，P为极化矢量。 利用公式，，可证： ， -----下面举例说明： 完全极化的密度矩阵， 完全非极化， 在z表象看x轴的完全极化， 部分极化。混合系综有75%的z和25%的x组成， ， 则 可得，---极化度 任一个2维矩阵可以分解为Pauli矩阵之和。 §5.2 密度矩阵的运动方程 在Schrodinger表象中，密度算符 初始时刻， t时刻， 运动方程，--master equation或Liouville equation 与Heisenberg方程的相似性？ 在自旋1/2的电子二态体系中， 令，则运动方程变为， 连续本征值下的密度矩阵， §5.3极化和散射 5.3A 散射的S矩阵依赖于自旋的情形 自旋1/2的入射粒子波函数（二分量形式）： ， 可以推测，相应的运动方程在无限远的渐进解形式为， 。 这里，散射振幅S依赖于角度和动量。 通解的形式为： [分析过程]： 从上式分析可知，两个特解为： 则方程的通解为，， 通过对称性分析，确定常数。 假设能够产生与自旋有关的散射的哈密顿量为， 式中，第二项为中心势，第三项为“自旋-轨道耦合” 假设散射势存在球对称性，则与的各个分量都对易。 则为的本征态，相应的本征值为（这里，2个基决定了本征值只有两个，则的本征态只能有2个，量子数只有2个）。 注意：改变转动，不影响径向运动。 本征方程为, 以上可知，的对角项只是的函数，与无关。 考虑体系H在空间反演下保持不变：对y-z平面的空间反演算符是， 规则，。 则空间反演不变要求，在作用下，。经分析，不变，，则可得 综合以上讨论，S矩阵为 引入单位矢量， 推导过程如下， ， 这里， 上式表明，入射的非极化束流经散射后的极化束流方向为方向，这是宇称守恒定律的结果。 由上面的讨论可知，给定散射振幅S，可计算给定方向上散射束流的强度，并由渐近解给出微分散射截面，即 ----有自旋。 --------------------无自旋。 ----与极化方向无关。 解Schrodinger方程，则可得的具体形式。 散射后束流的极化方向在微分散射截面中没有显示。 5.3B 极化束流引起散射的左右不对称 密度矩阵， 微分散射截面， 采用极化矢量的记法，则有。 这里，的纵向极化分量为， 横向极化分量为， 则， 从这里可以看出，散射强度对角度的依赖关系， 这是实验上发现的极化粒子束流被散射后呈现左右不对称的表示， 当极化矢量，就退回到无自旋粒子散射的情况。 2009-11-11上课内容 §5.4 量子统计学简介 5.4.A 密度矩阵与熵 用“熵”刻画纯粹系综和混合系综间的深刻区别。 这里， 当为对角矩阵时，。每一个矩阵元均为的数，所以是半正定的。 对于纯粹系统，。 对于混合系综，-----体系状态的混乱程度。 纯粹系综---所有成员均处于同一个量子态，熵取最小值0。 完全混乱的系综---每一个量子态等几率被占据，熵取最大值。 物理上，在给定Hamiltonian下，体系的熵将单调上升，达到热平衡。---- 有密度算符运动方程可知，---可同时对角化，取H的本征态为基。 表示在能量的本征态中体系得占据几率。 取熵的极值， 两个约束条件， Lagrange不定乘子法，取变分，。则 由归一化条件， 利用上式和完备性关系，可得 式中，。 当体系处在高温极限下，存在，则上式变为，表示此时的体系处于完全混乱的状态，不同的本征态被等几率地占据。 5.4B 配分函数 式中，定义为Helmholtz自由能。则相应的密度矩阵可以写为， 一般情况，可观察量的系综平均值为 体系的内能， [例子]：电子在z轴磁场中运动，体系的Hamiltonian为 选取的本征态为体系的基，则密度矩阵为， 配分函数 经计算， 定义单电子的磁化强度， 单电子的磁化率， 在高温极限下，，则 此时，磁化率为，-----居里定律。 5.4C 巨配分函数（体系粒子数不守恒） 体系粒子数算符的系综平均为，----约束。 巨正则系综：体系与周围环境交换能量和粒子。 取熵的极值方程，， 加上约束， 式中，-----巨配分函数。 定义热力学势， 密度矩阵为 （通常称为化学势） [玻色-爱因斯坦统计]：这里考虑全同玻色子组成“理想气体”，体系Hamiltonian为 式中，----玻色