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第五章密度矩阵和量子统计
第五章 密度矩阵与量子统计
能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年Von Neumann提出的密度算符方法。
可观察量大量观测后的平均值为
式中,为密度算符,为对矩阵求迹。
通常,,且可对一组基展开
则,和
密度算符为厄密算符,------简单证明!
满足归一化条件,(证明过程!!)
5.1D 二态体系的密度矩阵与极化
取基矢为,
由密度算符的厄密性,可知密度矩阵中含有3个独立实参数。简单说明!
密度算符可写成下面的形式
其中,P为极化矢量。
利用公式,,可证:
,
-----下面举例说明:
完全极化的密度矩阵,
完全非极化,
在z表象看x轴的完全极化,
部分极化。混合系综有75%的z和25%的x组成,
,
则
可得,---极化度
任一个2维矩阵可以分解为Pauli矩阵之和。
§5.2 密度矩阵的运动方程
在Schrodinger表象中,密度算符
初始时刻,
t时刻,
运动方程,--master equation或Liouville equation
与Heisenberg方程的相似性?
在自旋1/2的电子二态体系中,
令,则运动方程变为,
连续本征值下的密度矩阵,
§5.3极化和散射
5.3A 散射的S矩阵依赖于自旋的情形
自旋1/2的入射粒子波函数(二分量形式):
,
可以推测,相应的运动方程在无限远的渐进解形式为,
。
这里,散射振幅S依赖于角度和动量。
通解的形式为:
[分析过程]:
从上式分析可知,两个特解为:
则方程的通解为,,
通过对称性分析,确定常数。
假设能够产生与自旋有关的散射的哈密顿量为,
式中,第二项为中心势,第三项为“自旋-轨道耦合”
假设散射势存在球对称性,则与的各个分量都对易。
则为的本征态,相应的本征值为(这里,2个基决定了本征值只有两个,则的本征态只能有2个,量子数只有2个)。
注意:改变转动,不影响径向运动。
本征方程为,
以上可知,的对角项只是的函数,与无关。
考虑体系H在空间反演下保持不变:对y-z平面的空间反演算符是,
规则,。
则空间反演不变要求,在作用下,。经分析,不变,,则可得
综合以上讨论,S矩阵为
引入单位矢量,
推导过程如下,
,
这里,
上式表明,入射的非极化束流经散射后的极化束流方向为方向,这是宇称守恒定律的结果。
由上面的讨论可知,给定散射振幅S,可计算给定方向上散射束流的强度,并由渐近解给出微分散射截面,即
----有自旋。
--------------------无自旋。
----与极化方向无关。
解Schrodinger方程,则可得的具体形式。
散射后束流的极化方向在微分散射截面中没有显示。
5.3B 极化束流引起散射的左右不对称
密度矩阵,
微分散射截面,
采用极化矢量的记法,则有。
这里,的纵向极化分量为,
横向极化分量为,
则,
从这里可以看出,散射强度对角度的依赖关系,
这是实验上发现的极化粒子束流被散射后呈现左右不对称的表示,
当极化矢量,就退回到无自旋粒子散射的情况。
2009-11-11上课内容
§5.4 量子统计学简介
5.4.A 密度矩阵与熵
用“熵”刻画纯粹系综和混合系综间的深刻区别。
这里,
当为对角矩阵时,。每一个矩阵元均为的数,所以是半正定的。
对于纯粹系统,。
对于混合系综,-----体系状态的混乱程度。
纯粹系综---所有成员均处于同一个量子态,熵取最小值0。
完全混乱的系综---每一个量子态等几率被占据,熵取最大值。
物理上,在给定Hamiltonian下,体系的熵将单调上升,达到热平衡。----
有密度算符运动方程可知,---可同时对角化,取H的本征态为基。
表示在能量的本征态中体系得占据几率。
取熵的极值,
两个约束条件,
Lagrange不定乘子法,取变分,。则
由归一化条件,
利用上式和完备性关系,可得
式中,。
当体系处在高温极限下,存在,则上式变为,表示此时的体系处于完全混乱的状态,不同的本征态被等几率地占据。
5.4B 配分函数
式中,定义为Helmholtz自由能。则相应的密度矩阵可以写为,
一般情况,可观察量的系综平均值为
体系的内能,
[例子]:电子在z轴磁场中运动,体系的Hamiltonian为
选取的本征态为体系的基,则密度矩阵为,
配分函数
经计算,
定义单电子的磁化强度,
单电子的磁化率,
在高温极限下,,则
此时,磁化率为,-----居里定律。
5.4C 巨配分函数(体系粒子数不守恒)
体系粒子数算符的系综平均为,----约束。
巨正则系综:体系与周围环境交换能量和粒子。
取熵的极值方程,,
加上约束,
式中,-----巨配分函数。
定义热力学势,
密度矩阵为
(通常称为化学势)
[玻色-爱因斯坦统计]:这里考虑全同玻色子组成“理想气体”,体系Hamiltonian为
式中,----玻色
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