高中数学第一章三角函数1.3蝗制课件1北师大版必修4.pptVIP

1.3 弧度制 思 考 有人问：上海到南京有多远时，有人回答约300公里，但也有人回答约188英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 回答：显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 1.角度制的定义 规定周角的 为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制. 2.弧长公式及扇形面积公式 在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？ 我们这节课要研究的主要内容就是弧度制. 1.理解弧度的意义,熟记特殊角的弧度数.（重点） 2.能熟练地进行弧度与角度的换算.（难点） 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.（难点） 探究点1 弧度制的有关概念 在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为__________，它的单位符号是rad,读作弧度. 设弧长为l，若l=r， 则∠AOB= 1弧度. l r = O B r l=r A 1弧度 1弧度的角 则∠AOB= 2π弧度. l r = 则∠AOB= 2弧度. l r = r O A B l=2r 2π弧度 l=2 π r O A (B) r 若l=2r， 若l=2πr， 2弧度 若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是 l r = 3， 即∠AOB = l r = -3弧度. l=3r O A B r -3弧度 - 思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？ 提示：圆心角∠AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧长与半径长的比. 1弧度 R l=R O A B 1弧度 r l=r O A B 与半径长无关 的一个比值 一般地，任一正角的弧度数都是一个_____；任一负角的弧度数都是一个_____；零角的弧度数是__.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制. 正数 负数 0 总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确 立了角的弧度数与实数间的一一对应关系， 实数集R 角的集合 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 对应角的弧度数 【即时训练】 判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的弧度数的大小与角的大小有关.( ) (2)角的弧度数与角所在圆的半径的大小有关.( ) (3)角α=5表示的是5弧度的角.( ） 【解析】(1) 角的大小决定了弧度数的大小. (2) 由弧度数的概念知弧度数与角所在圆的半径无关. (3) 在用弧度表示角时“弧度”两字可以省略. √ × √ 探究点2 弧度制与角度制的换算 360°= 2π rad 180°= π rad l=2 π r O A (B) r 因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以 由180°=πrad还可得 1°= —— rad ≈ 0．017 45 rad. 180 π 1rad =（ ）°≈ 57．30°=57°18′. 把角度换成弧度 把弧度换成角度 【即时训练】 用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_________. 【解题关键】角α的终边落在x轴上方，即角的终边落在 第一象限、第二象限以及y轴的非负半轴上. 【解析】若角α的终边落在x轴上方， 则2kπ＜α＜2kπ+π,k∈Z. 答案:{α|2kπ＜α＜2kπ+π,k∈Z} 例1 把45°化成弧度. 解: 45°= 例2 把 化成度. 解: 方法：用弧度与角度的相互转化公式求解 度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 提升总结 一些特殊角的度数与弧度数的对应表 对于0°～360°之外的角，我们也不难得到它们的 弧度数.例如，-30°=- rad,420°= 360°+60° = rad. 思考：在进行角度制和弧度制的换算时，应注意什么？ 提示：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”两字或“rad”可以不写. (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数. (3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. 设r为圆的半径, l是圆心角α所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角α的弧度数通常也用α来表示，由弧度的定义可知，角α的弧度数的绝对值满足： ︱α︱= l r 即 l =| |r 探究点3 扇形的弧长和