2017年高中数学第三章导数及其应用3.1导数概念3.1.2问题探索_求作抛物线的切线同步练习湘教版选修1_.docVIP

3.1.2 问题探索—求作抛物线的切线 1．若f(x)＝3x，则f(x)在x＝1处的切线的斜率是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是(　　)． A．1 B． C．－ D．－1 3．过点P(2,5)的曲线y＝x2＋1的切线方程是(　　)． A．x－4y－3＝0 B．4x－y－3＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－y－3＝0 4．曲线y＝在点P(，2)处的切线方程是(　　)． A．4x＋y＋4＝0 B．x＋4y＋4＝0 C．4x＋y－4＝0 D．x＋4y－4＝0 5．过点Q(3,5)，且与曲线y＝x2相切的直线方程是(　　)． A．y＝2x－1或y＝10x－25 B．y＝2x－1 C．y＝10x－25 D．y＝2x＋1或y＝10x＋25 6．抛物线y＝f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k是__________． 7．曲线f(x)＝x3在点P(2,8)处的切线方程是__________． 8．P是抛物线y＝x2上一点，若过点P的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过P点的切线方程是__________． 9．已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程． (2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．  1．D 2．A　设f(x)＝ax2，则＝＝da＋2a. 当d趋于0时，da＋2a趋于2a.∴2a＝2.∴a＝1. 3．B　∵点P(2,5)在曲线y＝x2＋1上， ∴＝d＋4. 当d趋于0时，d＋4趋于4. ∴所求切线的方程是y－5＝4(x－2)， 即4x－y－3＝0. 4．C　∵点P(，2)在曲线y＝上， ∴＝. 当d趋于0时，趋于－4. ∴切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0. 5．A　∵Q(3,5)不在曲线y＝x2上， ∴设所求切线的切点为A(x0，y0)． ∴y0＝x02.又＝2x0＋d， 且当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0. ∴＝＝2x0.∴x0＝1或x0＝5. ∴切点为(1,1)或(5,25)， ∴所求切线的斜率为2或10. ∴所求切线的方程是y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)， 即y＝2x－1或y＝10x－25. 6．7　∵A(2,10)在抛物线f(x)＝x2＋3x上， ∴＝＝7＋d. 当d趋于0时，7＋d趋于7.∴k＝7. 7．y＝12x－16　∵P(2,8)在曲线f(x)＝x3上， ∴＝＝12＋6d＋d2. 当d趋于0时，12＋6d＋d2趋于12. ∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16. 8．y＝2x－1　设P(x0，x02)，则＝2x0＋d， 当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0. ∵切线与直线y＝－x＋1垂直， ∴2x0×(－)＝－1. ∴x0＝1.∴切点为P(1,1)，k＝2. ∴过P点的切线方程是y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. 9．解：(1)将x＝1代入y＝x3，得y＝1， ∴切点为P(1,1)．又＝3＋3d＋d2， 且当d趋于0时，3＋3d＋d2趋于3，∴k＝3. ∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)由得x1＝1，x2＝－2， ∴公共点为P1(1,1)，P2(－2，－8)，说明切线与曲线C的公共点除了切点P1(1,1)外，还有另外一个公共点P2(－2，－8)． 10．解：(1)由得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0. ∴x＝－2或x＝3. 代入直线的方程得y＝8或y＝13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)． (2)设抛物线上任意一点M(x，x2＋4)，再另任取一点N(x＋d，(x＋d)2＋4)，d≠0， 则kMN＝＝2x＋d. 当d趋于0时，kMN趋于2x，即过点M(x，x2＋4)的切线斜率为2x. ∴在点(－2,8)处的切线的斜率为－4，在点(3,13)处的切线的斜率为6. ∴所求切线方程为y－8＝－4(x＋2)和y－13＝6(x－3)，即4x＋y＝0和6x－y－5＝0. 1