2017年高中数学第三章导数及其应用3.1导数概念3.1.3导数的概念和几何意义同步练习湘教版选修1_.docVIP

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2017年高中数学第三章导数及其应用3.1导数概念3.1.3导数的概念和几何意义同步练习湘教版选修1_

3.1.3 导数的概念和几何意义 1.质点的运动规律为s=2t2+1,其中s表示路程,t表示时间,则在某时间段[1,1+d]中,质点运动的路程s对时间t的平均变化率为(  ). A.4 B.d C.4+d D.4+2d 2.函数y=f(x)=+1在x=1处的导数是(  ). A. B.1 C. D.4 3.函数y=f(x)=x2的导函数是(  ). A.x B.2x C.x2 D.2x2 4.曲线f(x)=x3+2x+1在点P(1,4)处的切线方程是(  ). A.5x-y+1=0 B.x-5y-1=0 C.5x-y-1=0 D.x-5y+1=0 5.函数f(x)=x3+4x+1,则f′(x)=(  ). A.3x2+4 B.4x2+3 C.x3+4x D.x2+4 6.对于函数y=x2,在x=__________处的导数值等于其函数值. 7.曲线y=f(x)=2x-x3在点(1,1)处的切线方程为__________. 8.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=__________. 9.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,求a的值及切点的坐标. 10.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积. 1.D 平均变化率为= =4+2d. 2.A = ==, 当d趋于0时,趋于.∴f′(1)=. 3.B = =2x+d, 当d趋于0时,2x+d趋于2x,∴f′(x)=2x. 4.C 因为P(1,4)在曲线上,所以在曲线上取另一点Q(1+d,f(1+d)),计算PQ的斜率为 k(1,d)= = ==d2+3d+5. 当d趋于0时,d2+3d+5趋于5,所以所求切线的斜率为5, ∴切线方程为y-4=5(x-1),即5x-y-1=0. 5.A  = =3x2+4+3xd+d2. 当d趋于0时,3x2+4+3xd+d2趋于3x2+4, ∴f′(x)=3x2+4. 6.0或2 设x=x0,则 ==d+2x0. 当d趋于0时,d+2x0趋于2x0. 由题意得:2x0=x02.∴x0=0或x0=2. 7.x+y-2=0 = =-1-3d-d2. 当d趋于0时,-1-3d-d2趋于-1, ∴f′(1)=-1,即所求切线的斜率为-1. ∴所求切线的方程为y-1=-1×(x-1), 即x+y-2=0. 8.±1 ==3a2+3ad+d2,当d趋于0时,3a2+3ad+d2趋于3a2. ∴曲线在点(a,a3)处的切线的斜率为3a2. ∴曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a). ∴切线与x轴的交点为(a,0). ∴|a-a|·|a3|=,解得a=±1. 9.解:设直线l和曲线C相切于点P(x0,y0). 令f(x)=x3-x2+1,则 = =d2+3x0d+3x02-2x0-d. 当d趋于0时,有f′(x0)=3x02-2x0. 由题意知3x02-2x0=1,解得x0=-或1. 于是切点坐标为(-,)或(1,1). 当切点为(-,)时,=-+a,∴a=. 当切点为(1,1)时,1=1+a,∴a=0(舍去). ∴a的值为,切点坐标为(-,). 10.解:(1)由导数的概念,得k1=f′(1)=3, ∴直线l1的方程为y=3x-3. 设直线l2与曲线y=x2+x-2的切点为B(b,b2+b-2),则k2=f′(b)=2b+1, ∵l1⊥l2,∴(2b+1)×3=-1,解得b=-. ∴直线l2的方程为y=-x-. (2)解方程组得 ∴直线l1与l2的交点坐标为(,-). 又∵l1,l2与x轴的交点坐标分别为(1,0),(-,0), ∴所求三角形的面积S=××|-|=. 1

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