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2017年高中数学第三章导数及其应用3.1导数概念3.1.3导数的概念和几何意义同步练习湘教版选修1_
3.1.3 导数的概念和几何意义
1.质点的运动规律为s=2t2+1,其中s表示路程,t表示时间,则在某时间段[1,1+d]中,质点运动的路程s对时间t的平均变化率为( ).
A.4 B.d C.4+d D.4+2d
2.函数y=f(x)=+1在x=1处的导数是( ).
A. B.1 C. D.4
3.函数y=f(x)=x2的导函数是( ).
A.x B.2x C.x2 D.2x2
4.曲线f(x)=x3+2x+1在点P(1,4)处的切线方程是( ).
A.5x-y+1=0 B.x-5y-1=0
C.5x-y-1=0 D.x-5y+1=0
5.函数f(x)=x3+4x+1,则f′(x)=( ).
A.3x2+4 B.4x2+3
C.x3+4x D.x2+4
6.对于函数y=x2,在x=__________处的导数值等于其函数值.
7.曲线y=f(x)=2x-x3在点(1,1)处的切线方程为__________.
8.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=__________.
9.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,求a的值及切点的坐标.
10.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
1.D 平均变化率为=
=4+2d.
2.A =
==,
当d趋于0时,趋于.∴f′(1)=.
3.B =
=2x+d,
当d趋于0时,2x+d趋于2x,∴f′(x)=2x.
4.C 因为P(1,4)在曲线上,所以在曲线上取另一点Q(1+d,f(1+d)),计算PQ的斜率为
k(1,d)=
=
==d2+3d+5.
当d趋于0时,d2+3d+5趋于5,所以所求切线的斜率为5,
∴切线方程为y-4=5(x-1),即5x-y-1=0.
5.A
=
=3x2+4+3xd+d2.
当d趋于0时,3x2+4+3xd+d2趋于3x2+4,
∴f′(x)=3x2+4.
6.0或2 设x=x0,则
==d+2x0.
当d趋于0时,d+2x0趋于2x0.
由题意得:2x0=x02.∴x0=0或x0=2.
7.x+y-2=0 =
=-1-3d-d2.
当d趋于0时,-1-3d-d2趋于-1,
∴f′(1)=-1,即所求切线的斜率为-1.
∴所求切线的方程为y-1=-1×(x-1),
即x+y-2=0.
8.±1 ==3a2+3ad+d2,当d趋于0时,3a2+3ad+d2趋于3a2.
∴曲线在点(a,a3)处的切线的斜率为3a2.
∴曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).
∴切线与x轴的交点为(a,0).
∴|a-a|·|a3|=,解得a=±1.
9.解:设直线l和曲线C相切于点P(x0,y0).
令f(x)=x3-x2+1,则
=
=d2+3x0d+3x02-2x0-d.
当d趋于0时,有f′(x0)=3x02-2x0.
由题意知3x02-2x0=1,解得x0=-或1.
于是切点坐标为(-,)或(1,1).
当切点为(-,)时,=-+a,∴a=.
当切点为(1,1)时,1=1+a,∴a=0(舍去).
∴a的值为,切点坐标为(-,).
10.解:(1)由导数的概念,得k1=f′(1)=3,
∴直线l1的方程为y=3x-3.
设直线l2与曲线y=x2+x-2的切点为B(b,b2+b-2),则k2=f′(b)=2b+1,
∵l1⊥l2,∴(2b+1)×3=-1,解得b=-.
∴直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
∴直线l1与l2的交点坐标为(,-).
又∵l1,l2与x轴的交点坐标分别为(1,0),(-,0),
∴所求三角形的面积S=××|-|=.
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