2017年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数的应用3.3.1利用导数研究函数的单调性同步练习湘教版选修1_.docVIP

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2017年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数的应用3.3.1利用导数研究函数的单调性同步练习湘教版选修1_

3.3.1 利用导数研究函数的单调性 1.f(x)=5x2-2x的单调增区间为(  ). A.(,+∞)B.(-∞,) C.(-,+∞)D.(-∞,-) 2.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为(  ). A.(-1,0) B.(-1,11) C.(0,11) D.(-1,33) 3.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,下列判断正确的是(  ). A.函数y=f (x)在区间(-3,-)内单调递增 B.函数y=f(x)在区间(-,3)内单调递减 C.函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增 D.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递减 4.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(  ). 5.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且f(x)+xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是(  ). A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x 6.设函数f(x)=(x>0且x≠1),则函数f(x)的单调增区间是__________,单调减区间是__________. 7.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x-x3;(2)f(x)=3x2-2ln x. 8. 已知函数f (x)=(a+1)ln x+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. 1.A f′(x)=10x-2.令f′(x)>0,得x>,故选A. 2.B f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1). 由(x-11)(x+1)<0,得单调减区间为(-1,11). 3.C 由图可知在区间(-2,2)和(4,5)内,f′(x)>0,故函数y=f(x)在区间(-2,2)和(4,5)内递增;在区间(-3,-2)和(2,4)内,f′(x)<0,故函数f(x)在区间(-3,- 2)和(2,4)内单调递减,故选C. 4.A 因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(x)在区间[a,b]上各点处的斜率k是递增的,由图易知选A.注意选项C中,y′=k为常数. 5.A 由题意,f(x)+xf′(x)>x2≥0, ∴G(x)=xf(x)在R上为增函数,且G(0)=0. 于是有x>0时,G(x)=xf(x)>0, ∴f(x)>0.当x<0时,G(x)=xf(x)<0, ∴f(x)>0.∴f(x)>0在x∈R上恒成立. 6.(0,) (,1)和(1,+∞) f′(x)=()′=. 令f′(x)>0,即->0,得1+ln x<0,即x<. 令f′(x)<0,即-<0,得1+ln x>0,即x>. 又x>0且x≠1, ∴函数的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,1)和(1,+∞). 7.解:(1)f′(x)=1-3x2. 令1-3x2>0,解得-<x<. 因此,函数f(x)的单调增区间为(-,). 令1-3x2<0,解得x<-或x>. 因此,函数f(x)的单调减区间为(-∞,-),(,+∞). (2)函数的定义域为(0,+∞), f′(x)=6x-=2·. 令f′(x)>0,即2·>0, 解得-<x<0或x>. 又∵x>0,∴x>. 令f′(x)<0,即2·<0, 解得x<-或0<x<. 又∵x>0,∴0<x<. ∴f(x)的单调增区间为(,+∞),单调减区间为(0,). 8.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=+2ax=. 当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调增加; 当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调减少; 当-1<a<0时,令f′(x)=0,解得x=, 则当x∈(0,)时,f′(x)>0, 当x∈(,+∞)时,f′(x)<0. 故f(x)在(0,)上单调增加,在(,+∞)上单调减少. (2)证明:不妨假设x1≥x2. 由于a≤-2,故f(x)在(0,+∞)上单调减少. 所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2, 即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则g′(x)=+2ax+4=. 于是g′(x)≤=≤0. 从而g(x)在(0,+∞)上单调减少, 故g(x1)≤g(x2), 即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2, 故对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. 1

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