2017年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数的应用3.3.2函数的极大值和极小值同步练习湘教版选修1_.docVIP

3.3.2 函数的极大值和极小值 1．下列四个函数①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，在x＝0处取得极小值的函数是(　　)． A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 2．(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)． A．2 B．3 C．6 D．9 3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的(　　)． A．极大值为0，极小值为－ B．极大值为，极小值为0 C．极小值为－，极大值为0 D．极小值为0，极大值为4．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围为__________． 5．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__________． 6． 将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________． 7．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0，讨论f(x)的单调性． 8．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．  1．B　①与④在R上是增函数，取不到极值，由极值定义，结合图象知②③在x＝0处取得极小值． 2．D　由题意，得f′(x)＝12x2－2ax－2b. ∵函数f(x)在x＝1处有极值， ∴f′(1)＝0.∴12－2a－2b＝0，即a＋b＝6. 又∵a＞0，b＞0，由基本不等式得a＋b≥2， ∴ab≤()2＝()2＝9，故ab的最大值是9. 3．B　∵f(x)与x轴切于点(1,0)， f′(x)＝3x2－2px－q， ∴f′(1)＝3－2p－q＝0. 又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1. ∴f(x)＝x3－2x2＋x. ∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝. 当x＜时，f′(x)＞0； 当＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0. 故x＝时，取得极大值；x＝1时，取得极小值0. 4．(0，)　f(x)在(0,1)上存在极值点转换为f′(x)＝3x2－6b＝0在(0,1)上有解，即b＝，x∈(0,1)有解，转化为函数y＝，x∈(0,1)上的值域问题，所以b∈(0，)． 5．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　f(x)为三次函数，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不相等的实数根，化简f′(x)＝0有x2＋2ax＋(a＋2)＝0，从而有Δ＝(2a)2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.即a∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 6．　设剪成的另一块正三角形的边长为x. 则S＝＝·(0＜x＜1)， 所以S′＝· ＝－·. 令S′＝0，得x＝或3(舍去)． ∴x＝是S的极小值点且是最小值点． ∴Smin＝·＝. 7．解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝. 设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. 当Δ＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0. 此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． 当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0. 此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． 当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根 x1＝，x2＝，0＜x1＜x2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递减 此时f(x)在(0，上单调递增，在上单调递减，在，＋∞)上单调递增． 8．解：(1)f′(x)＝3x2－6， 令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝. 因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0； 当－＜x＜时，f′(x)＜0. 所以f (x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)． 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4. ＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根． (3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)． 因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(