2017年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数的应用3.3.3三次函数的性质：单调区间和极值同步练习湘教版选修1_.docVIP

3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 1．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到．其中正确命题的序号是(　　)． A．①④ B．②④ C．①② D．③④ 2．函数f(x)＝x3＋x在区间[－1,1]上(　　)． A．最小值为－1，最大值为2 B．最小值为－2，最大值为2 C．最小值为－1，最大值为1 D．最小值为0，最大值为1 3．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是(　　)． A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．既无极大值，也无极小值 D．既有极大值又有极小值 4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)． A．－2 B．0 C．2 D．4 5．若f(x)＝x3＋mx2＋5x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________． 6．函数f(x)＝9＋3x－x3的极小值为__________． 7．函数f(x)＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最大值和最小值分别为__________，__________. 8．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3. (1)设a＝1，求函数f (x)的极值； (2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围． 9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．  1．B 2．B　∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)为增函数． ∴f(x)的最小值为f(－1)＝－2，f(x)的最大值为f(1)＝2. 3．D　f′(x)＝－3x2－2x＝－3x(x＋)． 令f′(x)＝0，则x＝0或－. 当x∈(－∞，－)时，f′(x)＜0； 当x∈(－，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0. ∴f(x)在x＝－处取得极小值， f(x)在x＝0处取得极大值． 4．C　f′(x)＝3x2－6x. 令f′(x)＝0，得x＝0或2(舍去)． ∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2， ∴f(x)最大值＝2. 5．[－，]　f′(x)＝3x2＋2mx＋5. 由题意，知(2m)2－4×3×5≤0，得－≤m≤. 6．7　f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)， 当x＜－1时，f′(x)＜0， 当－1＜x＜1时，f′(x)＞0， 当x＞1时，f′(x)＜0， ∴f(x)在x＝－1处取得极小值，f(－1)＝9－3＋1＝7. 7．0　－64　令f′(x)＝12x2－16x＝0，∴x＝0或x＝. 当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，)时，f′(x)＜0； 当x∈(，2)时，f′(x)＞0. 故f(x)在x＝0时取得极大值，在x＝时取得极小值． 又∵f(0)＝0，f(－2)＝－64，f(2)＝0， f()＝－， ∴函数的最大值为0，最小值为－64. 8．解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得 f′(x)＝3x2－6x－9. 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值6 极小值－26 所以，f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26. (2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称． 若＜a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数， 从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2. 由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a. 由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1， 由f′(4a)≤12a，得0≤a≤. 所以a∈(，1]∩[－，1]∩[0，]，即a∈(，]． 若a＞1，则|f′(a)|＝12a2＞12a. 故当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立． 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]． 9．解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1， 当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0恒成立， 此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)． 当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12＞0