2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义与标准方程同步练习湘教版选修1_.docVIP

2.2.1 双曲线的定义与标准方程 1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是(　　)． A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线 2．双曲线－＝1的焦距为(　　)． A．3 B．4C．3 D．4 3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)． A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 4．已知方程－＝1的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)． A．k＞5 B．k＞5，或－2＜k＜2 C．k＞2，或k＜－2 D．－2＜k＜2 5．设P为双曲线x2－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　)． A．6 B．12C．12 D．24 6．如图，从双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为__________． 7．在△ABC中，已知B(4,0)，C(－4,0)，点A运动时满足sin B－sin C＝sin A，则A点的轨迹方程是__________． 8．中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P(3，)和Q(，5)两点的双曲线方程是______． 9．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2m(m≠0)，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围． 10．如图，M(－2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足||PM|－|PN||＝2. (1)求点P的轨迹方程； (2)设d为点P到直线l：x＝的距离，若|PM|＝2|PN|2，求的值．  1．D　∵||MF1|－|MF2||＝6，而F1(－3,0)、F2(3,0)之间的距离为6，即|F1F2|＝6， 故||MF1|－|MF2||＝|F1F2|. ∴M点的轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线． 2．B　由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，得2c＝4. 3．A　由题意，知|F1F2|＝4，根据双曲线的定义，有||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，观察各选项，只有选项A符合双曲线的定义． 4．B　∵方程的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)＞0. 即或 解得k＞5，或－2＜k＜2.故选B. 5．B　由已知，得解得 ∵|F1F2|＝2c＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2. ∴△PF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形， ∴＝|PF1|·|PF2|＝12. 6．|MO|－|MT|＝b－a　设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，OT. 在Rt△OTF中，|FO|＝c，|OT|＝a，∴|TF|＝b. 由三角形中位线定理及双曲线的定义，知|MO|－|MT|＝|PF′|－(|PF|－b)＝b－(|PF|－|PF′|)＝b－a. 7．－＝1(x＞2)　∵sin B－sin C＝sin A， ∴由正弦定理，得b－c＝a，即|AC|－|AB|＝|BC|， ∴|AC|－|AB|＝4. ∴点A的轨迹是以C，B为焦点的双曲线的右支(除去点(2,0))，其方程为－＝1(x＞2)． 8．－＝1　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． ∵点P，Q在双曲线上，∴ 解得 ∴所求双曲线方程为－＝1. 9．解：设点P的坐标为(x，y)． 依题设，得＝2，即y＝±2x (x≠0)．① 因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线，知||PM|－|PN||＜|MN|＝2. ∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0， ∴0＜|m|＜1. 因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上， 故－＝1.② 将①代入②式，得x2＝. ∵1－m2＞0，∴1－5m2＞0.解得0＜|m|＜，即m的取值范围为(－，0)∪(0，)． 10．解：(1)由双曲线的定义，知点P的轨迹是以M，N为焦点，2a＝2的双曲线． 因此c＝2，a＝1，从而b2＝c2－a2＝3. 所以双曲线的方程为x2－＝1. (2)设P(x，y)，由|PN|≥1，知|PM|＝2|PN|2≥2|PN|＞|PN|，故点P在双曲线的右支上，所以x≥a＝1. 由双曲线方程，有y2＝3x2－3. 因此|PM|＝＝＝＝2x＋1. |PN|＝＝＝. 从而由|PM|＝2|PN|2，得2x＋1＝2(4x2－4x＋1)，即8x2－10x＋1＝0. 所以x＝(舍去x＝)． 所以|PM|＝2x＋1＝，d＝x－＝.故＝×＝1＋. 1