2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选修1_.docVIP

2.3.2 抛物线的简单几何性质 1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)． A．4 B．8 C．8 D．16 2．若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为(　　)． A．1 B．2 C．4 D． 6 3．抛物线上一点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离为6，则抛物线的标准方程是(　　)． A．y2＝－2x，y2＝－18x B．y2＝－4x，y2＝－36x C．y2＝－4x D．y2＝－36x 4．边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)． A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)． A． B．1 C． D． 6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)． A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)． 能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)． 8．已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点，求r的取值范围．  1．B　直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6,4)． 由抛物线的性质可以知道|PF|＝6＋2＝8. 2．C　依题意，得＋6＝8，∴p＝4，∴焦点到准线的距离为p＝4. 3．C　由已知，得＝6， ∴x2＋10x＋9＝0，∴x＝－1或－9. ∴焦点为F(－1,0)或F(－9,0)． ∴p＝2或18.∴抛物线的方程为y2＝－4x或y2＝－36x.显然，若抛物线的方程为y2＝－36x，则它的准线为x＝9. 而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，由抛物线的定义可知与题意不符，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x. 4．C　∵△AOB为边长等于1的正三角形， ∴O到AB的距离为，A，B到x轴的距离均为. 当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时， 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)． ∵抛物线过点(，)， ∴()2＝2p·.∴2p＝. ∴抛物线的方程为y2＝x. 当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时， 设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)． ∵抛物线过点(－，)， ∴()2＝－2p·(－)．∴2p＝. ∴抛物线的方程为y2＝－x. 5．C　如图，由抛物线的定义，知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3. 设点C为线段AB的中点， 所以|CD|＝(|AM|＋|BN|)＝， 所以中点C的横坐标为－＝， 即线段AB的中点到y轴的距离为. 6．B　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为|OA|·|OF|＝||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线的方程为y2＝±8x. 7．②⑤　本题主要考查抛物线的基础知识，考查分析和探索问题的能力． 由抛物线方程y2＝10x知它的焦点在x轴上，所以②适合． 又∵它的焦点坐标为F(，0)，原点O(0,0)， 设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1， ∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意． ∴应填序号为②⑤. 8．解：将抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)的方程联立，消去y2，整理得x2－7x＋16－r2＝0.(*) 抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点的充要条件是：方程(*)有两个不相等的正根． 所以由解得r∈(，4)． 即r的取值范围是(，4)． 1