江苏省泰兴市高中数学第1章解三角形1.2余弦定理1教案苏教版必修.docVIP

1.2　余弦定理（1） 教学目标： 1. 掌握余弦定理及其证明方法； 2. 初步掌握余弦定理的应用； 3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力余弦定理的两边与（为中边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理． ． 探索1　还有其他途径将向量等式数量化吗？（如图1），所以 　　 　　　　　　 即 ， 同理可得 ， ． 上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理． 　　　 三、建构数学 对任意三角形，有余弦定理： ， ， ． 探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则． 所以 ． 同理可证：， ． 方法二：若是锐角，如图3，由作，垂足为，则． 所以， ， 即， 类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，结论显然成立． 同理可证 ，． 方法三：由正弦定理，得． 所以 　　　 ． 同理可证 ，． 余弦定理也可以写成如下形式： ， ， ． 探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四、数学运用 1．例题． 例1　在中， （1）已知，求； （2）已知求最大角的余弦值． 解　（1）由余弦定理， 得　　， 所以 ． （2）　因为，所以为最大角， 由余弦定理，得． 例2　用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，． 证明：当为锐角时，，由余弦定理得 即　　　　　； 同理可证，当为钝角时，． 2．练习． （1）在中，已知，求． （2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） 　　A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 （3）在中，已知，试求的大小． 练习答案： （1） （2） （3） 五、要点归纳与方法小结 本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 1 x y B 图2 C A 图1 C B A