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江苏省泰兴市高中数学第1章解三角形1.3正弦定理余弦定理的应用2教案苏教版必修
1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)
教学目标:
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些的实际问题正弦定理、余弦定理等知识和方法正弦定理、余弦定理等知识和方法.,,
②,,
③ ==
④
4. 三角形中的基本关系式:
(二)总结解斜三角形的要求和常用方法:
1. 利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:
①已知两角和任一边,求其他两边和一角;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求其他的边和角.
2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题:
①已知三边求三内角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个内角.
二、问题情境
利用正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理等知识和方法..1.例题.
例1. 如图1-3-4,半圆的直径为,为直径延长线上的一点,,为半圆上任意一点,以为一边作等边三角形.问:点在什么位置时,四边形面积最大?
学生活动:
问题1:四边形怎么产生的呢?
生:是定的,动面积变.
师:是的,四边形的面积由点的位置惟一确定,而点由惟一确定.
问题2:如何求该四边形的面积?
生:
师:选什么作为自变量呢?
生:四边形的面积随着的变化而变化,可设,再用的三角函数来表示四边形的面积.
解 设.在中,由余弦定理,得
.
于是,四边形的面积为
.
因为,所以当时,,即时,
四边形的面积最大.
小结:将四边形的面积表示成的函数,利用三角函数的有界性求出四边形面积的最大值.
另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式的构造及逆用,应要求学生予以重视
例2 如图,有两条相交成角的直线、,交点是,甲、乙分别在、上,起初甲离点3千米,乙离点1千米,后来两人同时用每小时千米的速度,甲沿 方向,乙沿方向步行,
(1)起初两人的距离是多少?
(2)用包含的式子表示小时后两人的距离;
(3)什么时候两人的距离最短?
解 (1)设甲、乙两人起初的位置是,,
则
,
∴AB=km.
∴ 起初两人的距离是 km.
师:如何表示小时后两人的距离呢?
生:还是用余弦定理,但是要分类讨论,因为夹角发生了改变.
(2)设甲、乙两人小时后的位置分别是,则,,
当时,;
当时,,所以, km.
(3),∴当时,即在第分钟末,最短.
答 在第分钟末,两人的距离最短.
2. 练习:
如图,已知为定角,分别在的两边上,为定长.当位于什么位置时,的面积最大?
师:三角形的面积怎么表示?
解 设,
其中为定值,
∴
师:为定值,要求面积的最值,就是求的最值,那么和有什么关系呢?
师:怎样得到的最值呢?
∴
∴当且仅当时取等号.
∴ 时,的面积最大.
小结:本题中弦定理表示的面积,和的关系式,可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要认识到这两个定理的重要性.
四、回顾小结
通过本节学习,要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.
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