高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质教案2湘教版选修1_.docVIP

第二课时 椭圆的简单几何性质 教学目标 1、进一步掌握椭圆的几何性质 2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。 3、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。 4、培养分析问题和解决问题的能力 教学过程 1、复习回顾 前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下： ⑴椭圆的几何性质的内容是什么？ 椭圆16x2＋9y2＝144中x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，顶点及焦点坐标。 －3≤x≤3，－4≤y≤4，长轴长2a＝8，短轴长2b＝6，离心率， 顶点坐标(0,－4),(0,4),(－3,0),(3,0)，焦点坐标 注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。 ⑵什么叫做椭圆的离心率？ e＝c/a 离心率的几何意义是什么呢？我们先来看一个问题： 点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x＝a2/c的距离的比是常数e=c/a(a＞c＞0)，求点M的轨迹。 2、探索研究 (按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写) 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2) 设a2－c2＝b2,就可化成x2/a2＋y2/b2＝1，这是椭圆方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，长轴长为2b，焦点在x轴上的椭圆。 小结： ⑴椭圆的第二定义：当点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e=c/a(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 ⑵对于椭圆x2/a2＋y2/b2＝1，相应于焦点F2(c,0)的准线方程是l：x＝a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(－c,0)的准线方程是l：x＝－a2/c；对于椭圆x2/ b 2＋y2/ a 2＝1，相应于焦点F2(0,c)的准线方程是l：y＝a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(0,－c)的准线方程是l：y＝－a2/c。 ⑶离心率的几何意义是：椭圆上的点M与焦点F和它到准线l(与焦点F相对应的准线)的距离的比。 指导学生归纳知识一览表（见几何画板） 3、反思应用 例1　求椭圆4x2＋y2＝1的x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。 分析：－1/2≤x≤1/2,－1≤y≤1，2a＝2，2b＝1，顶点(0,±1),(±1/2,0),焦点，， 准线方程 例2　已知椭圆x2/100＋y2/36＝1上一点P到其左、右焦点距离的比为1∶3，求点P到两条准线的距离。 分析：由椭圆标准方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5。 　　　∵|PF1|＋|PF2|＝20，|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15 设点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2, 根据椭圆的第二定义，有 ∴d1＝|PF1|/e＝25/4，d2＝75/4。 变：⑴已知椭圆x2/100＋y2/36＝1上一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，求|PF1|、|PF2|。 　　分析：由椭圆标准方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5， 左准线方程x＝－25/2，右准线方程x＝25/2，设点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2,则d1＝5－（－25/2）＝35/2，d2＝5－25/2＝15/2，∴|PF1|＝ed1＝14，|PF2|＝6。 小结：点P(x0,y0)是椭圆x2/a2＋y2/b2＝1上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2，则d1＝a2/c＋x0, d2＝a2/c－x0,|PF1|＝ed1＝a＋ex0，|PF1|＝ed2＝a－ex0。 　　　　⑵已知椭圆x2/100＋y2/36＝1内有一点P(2，－3), F2为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使 的值最小，求点M的坐标。 　　分析：设M在右准线l上的射影为M1， 由椭圆标准方程可知 　　a＝10,b＝6,∴c＝8,e＝c/a＝4/5, 由椭圆第二定义，有|MF2|/|MM1|=4/5,即|MF2|＝4|MM1|/5 ∴|MP|＋|MF2|＝|MP|＋|MM1|，当M、P、M1三点共线时， |MP|＋|MM1|有最小值。 过P作右准线的垂线y＝－3，由方程组，解得 例3　求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程是x＝3，离心率为的椭圆方程。 解：设椭圆方程为，根据题意有 解得， ∴所求椭圆方程是 4、归纳总结 数学思想：数形结合、分类讨论、类比的思想、特殊到一般 数学方法：图象法、公式法、待定系数法、 知识点：范围、顶点、对称性、离心率、椭圆第二定义、焦半径 5、作业　　P103　习题8.2　8、9、10 　　预