高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质教案3湘教版选修1_.docVIP

第三课时 椭圆的简单几何性质 教学目标 1、能利用椭圆中的基本量a、b、c、e熟练地求椭圆的标准方程 2、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题 3、培养理解能力，知识应用能力 教学过程 1、复习回顾 ⑴说出椭圆x2/4＋y2＝1的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。 ⑵求中心在原点，过点，一条准线方程是的椭圆方程。 ⑶我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且A、B、F2在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星的运行轨道方程（精确到1km）。 分析：几个概念的理解，坐标系的建立，由a＋c，a－c求a、b、c。x2/77832+y2/77222=1 2、探索研究 椭圆参数方程的推导 以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标为(x,y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角。取φ为参数，则，即 这就是点M的轨迹的参数方程， 消去参数φ后得到方程x2/a2＋y2/b2＝1，由此可知点M的轨迹是椭圆。 点评：这道题给出了椭圆的一种画法。 　　　大家想一想：画椭圆的方法有几种？ 3、反思应用 例1　 将椭圆方程x2/16＋y2/9＝1化为参数方程。 例2　在椭圆x2＋8y2＝8上到直线l：x－y＋4＝0距离最短的点的坐标是______，最短距离是___。 解一（化归法）：设平行于l的椭圆的切线方程为：x－y＋a＝0, 由 消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0 ∴Δ＝4a2―4??9(a2―8)＝0，解得a＝3或a＝－3， 此时或， 与直线l距离较小的切线方程为x－y＋3＝0， 这条切线与直线l的距离为，此时点P(－8/3,1/3) 解二：（参数法）设点，则点P到直线l的距离， 其中, 当sin(α－θ)＝－1时，d取得最小值，此时,∴点P(－8/3,1/3) 解三：（换元法）设，则u2＋v2＝8，直线l：， 由解得或（舍），，∴点P(－8/3,1/3) 点P到直线l的最短距离为 例3　已知椭圆x2/25＋y2/16＝1，点P(x,y)是椭圆上一点，⑴求x2＋y2的最大值与最小值；⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。 分析⑴一（消元法）：由x2/25＋y2/16＝1得y2＝16(1－ x2/25),∴x2＋y2＝x2＋16(1－ x2/25)＝16＋9x2/25 ∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16 　　　二（参数法）：设x=5cosθ,y=4sinθ,∴x2＋y2=(5cosθ)2+(4sinθ)2=16+9sin2θ, ∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16 ⑵方法一：设x=5cosθ,y=4sinθ,则3x＋5y＝15 cosθ＋20 sinθ＝25 sin(θ+α),∴3x＋5y的范围是［－25,25］ 方法二：设t＝3x＋5y，则直线3x＋5y－t＝0与椭圆x2/25＋y2/16＝1有交点 由消去y得：25x2－6tx＋t2－400＝0，∴Δ＝36t2―100(t2―400)≥0,解之得：　　　 t∈［－25,25］，即3x＋5y的范围是［－25,25］ ⑶由椭圆方程知A(5,0),C(0,4),∴直线AC的方程是4x＋5y－20＝0， 设B(5cosθ,4sinθ)(0θπ/2),D(5cosα,4sinα)(πα2π),则点B到直线AC的距离是 ∴四边形ABCD的最大面积是S＝|AC|(dB+dD)/2＝ 例4　已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，求点P到椭圆距离的最大值与最小值。 分析：以点P(0,5)为圆心，内切于椭圆的圆的半径为r1，，即为点P到椭圆的最小值；以点P(0,5)为圆心，外切于椭圆的圆的半径为r1，，即为点P到椭圆的最大值。 解：∵0＋2·52＜98，∴点P在椭圆的内部，设以点P(0,5)为圆心，与椭圆相切的圆的方程为：x2＋(y－5)2＝r2,将椭圆方程x2＋2y2＝98代入得r2＝98－2y2＋(y－5)2＝－(y＋5)2＋144(－7≤y≤7) ∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝ ；当y＝7时，rmin2＝4，即rmin＝2。 注意：本题的解法称为辅助圆法 例5　求定点A(a,0)到椭圆x2＋2y2＝2上的点之间的最短距离。 分析：设点B(x,y)为椭圆上的任一点，由|AB|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋1－x2/2＝(x－2a)2＋1－a2