上海市重点中学高二数学上学期期末考试试题.doc

上海市某重点高中-第一学期 高二数学期终答案 （满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上） 一、填空题：本大题共12题，满分36分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写正确得3分，否则一律得0分。 过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。 解：一个法向量，所以方程为，即。▋ 直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。 解：，所以倾角的取值范围是。▋ 已知直线与：平行，则值是解：或。 当时，二直线分别为：，：，平行； 当时，二直线分别为：，：，平行。▋ 直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。（用反三角函数表示） 解：，所以夹角满足，所以夹角为。▋ 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为。▋有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。 解：椭圆的焦点坐标为，。 由，所以。所以，双曲线C的方程为。▋ 有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。 解：设抛物线方程为，其过点， 所以，，当时，，所以桥下的水面宽米。▋ 直线绕原点逆时针旋转，与的交点坐标为_______。 解：，与联立，解得交点为。▋ 已知方程表示圆，则___________。 解：令，解得或。 （1）当时，方程化为，方程表示圆； （2）当时，方程化为，判别式，方程不表示圆。 所以。▋ 已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。 解：的焦点为，设（），所以， 将代入，得， 所以直线的斜率。▋ （上海市秋季高考文科第12题） 已知是椭圆（）的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则。解：有，可得，即，故有。的最小值为_____________。 解：设（），，则， 所以，， 令，所以，所以， 当且仅当，即，即时等号成立。 所以的最小值为。▋ 二、选择题：本大题共4题，满分16分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。每题填写正确得4分，否则得0分。 （海南宁夏秋季高考文科第5题） 已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为(A) (B) (C) (D) 解：设圆的圆心为，则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选(B) （湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题） 若直线与曲线有公共点，的取值范是 (B) (C) (D) 解：曲线方程可化简为（），即表示圆心为，半径为2的半圆。 依据数形结合，直线与此半圆相切，即圆心到直线距离等于2，解得（舍）或。 当直线过时，解得，故，所以选(C)。▋ 给出下列3个命题：①在平面内，若动点到、两点的距离之和等于2，则动点的轨迹是椭圆；②在平面内，、若动点，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 解：选(A)。▋ 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则(A) (B) (C) (D) 解：设抛物线的准线为直线恒过定点。如图过分别作于，于，由，则，点B为AP的中点。连结，则，∴点的横坐标为，故点的坐标为，，∴，∴选与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。求圆O截l所得弦AB的长。 解：在中，令，得，所以圆C的半径， ……2分 圆心O到直线l的距离。 ……3分 所以弦长。▋ ……3分 （本题满分8分） 已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点，直线与（，为双曲线C的两个顶点）的斜率之积，求双曲线C的标准方程。 解：（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：， 所以，，， 解得。 ……2分 将，代入双曲线方程，得，解得。 ……2分 所以双曲线C的标准方程为。 ……2分 （2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：， 所以，，， 解得（舍去）。 ……2分 综上，所求双曲线C的标准方程为。▋ （本题满分10分） 过点作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间。 （Ⅰ），求直线l的方程； （Ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程。 解：显然直线l的斜率k存在且， 设l：，得，。 ……2分 因为P位于AB两点之间，所以且，所以。 ，。 ……2分 （Ⅰ），所以，所以。 直线l的方程为。 ……3分 （Ⅱ），当即时，等号成立。 所以当取得最小值时直线l的方程为。▋ ……3分 （本题满分10分） 已知曲线