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圆中的动与静-哈密市四中 赵丽娟
圆中的动与静
赵丽娟
新疆哈密市四中
2012年5月
摘 要
动态几何问题是各地中考命题的热点,但很多的学生看到此类问题往往放弃,这就要求教师在分析此类问题时注重数学思想和方法的指导,总结常规解法,使学生在解题时“有法可依”。
利用点和圆的三种位置关系,根据动点在圆中运动的不同情况确定相应的图形;
利用三角形的分类,根据动点在圆中运动的不同情况确定相应的图形;
利用直线与圆的三种位置关系,根据动点在圆中运动的不同情况确定相应的图形;
方法指导:(1)化动为静——应用数学分类讨论的思想确定动点在不同情况下的相应图形;(2)以不变应万变——注意发现动点在不同的情况下图形的联系与区别,能够进行相互的转化;
圆中的动与静
新疆哈密市四中 赵丽娟
动态几何问题以其特有的魅力成为各地中考命题的热点,但很多的学生看到此类问题往往无从下手而放弃,这就要求我们教师在分析此类问题时注重数学思想和方法的指导,总结常规解法,使学生在解题时有“法”可依。以下是我就此类问题设计的一节课,并取得了较好的效果。
探究一:已知:如图一,PC是⊙O的直径,PA、PB是⊙O的弦,且PC平分∠APB,此时PA等于PB吗?
图一 图二 图三
此题从常规题目入手,学生对于等弦的证明比较拿手,因此回答十分踊跃。此环节注重基础知识的复习巩固。
生1:连接AC、BC,因PC平分∠APB,故AC=BC,因PC是⊙O的直径,所以∠PAC=∠PBC=90°利用Rt△PAC≌Rt△PAB,可得PA=PB。
生2:作OM⊥PA于M, 作ON⊥PA于N,利用角平分线的性质可得OM=ON,故PA=PB。
生3:连接OA、OB,证明∠POA=∠POB,利用同圆中,相等的圆心角所对的弦相等,可知PA=PB。
生4:我是利用等弧对等弦, 因PC平分∠APB,可知弧AC=弧BC,又PC是⊙O的直径, 所以弧PA=弧PB,故PA=PB。
通过学生的讨论,归纳出证明等弦的方法,既在静态几何中帮助学生理清解题思路,进行常规解法的指导,注重培养学生敢于和善于发表自己的看法,尝试在与他人交流的过程中获益,并学会尊重他人的看法,同时又为后面动态几何的探究作了铺垫。
师:若点P是直线OC上一动点,其余条件不变,此结论是否仍然成立?
学生沉默无语,感到无从下手。
师:点P是直线OC上一动点,那么点P会处于什么位置呢?
学生很快回答点P在⊙O上 ,⊙O的内部,⊙O的外部,并指导学生画出图二、图三。
师:很好。点P虽然是直线OC上一动点,我们可以根据点和圆的三种位置关系,把动态几何转化为静态几何研究,这里体现了数学的转化思想和分类思想。那么如何证明呢?
生:当P在⊙O的外部时,作OM⊥PA于M, 作ON⊥PA于N,由角平分线的性质可得OM=ON,利用HL,可以证明Rt△POM≌Rt△PON,所以PM=PN,再由垂径定理得出AM=NB,所以PM+AM=PN+NB,即PA=PB。P在⊙O的内部的情况同理可得。
师:这位同学的思路很清晰。通过此题的探究,你有哪些心得?
生:点P虽然是一动点,但根据点和圆的三种位置关系,可以画出P在不同情况下的相应的图形。
通过学生动手实践及观察几何画板的动态演示,让学生在变化中寻找不变的规律,解决动态几何的关键就是利用数学分类思想讨论动点在不同情况下的情形,并画出相应图形予以证明。
探究二:已知如图三,△ABC内接于⊙O,AB为直径,AE切⊙O于A点。(1)求证:∠CAE=∠B;(2)若点B是一动点,在优弧AC上滑动,点B与点A、点C不重合,你能分别画出B在不同位置时的图形吗?(1)的结论仍然成立吗?选出其中一个图形进行证明。
图三 图四 图五
生:因E切⊙O于A点,所以∠BAE=90°,所以∠CAE+∠CAB=90°,因为AB为直径,所以∠C=90°,所以∠B+∠CAB=90°,故∠CAE=∠B。
师:当B在优弧AC上滑动,会出现怎样的情形呢?通过几何画板演示对学生予以启发。
生:△ABC的形状会发生改变,还可能是锐角三角形、钝角三角形。
老师肯定学生的思路,并由学生分组完整写出证明的过程。同时引导学生反思解题思路和方法。
在前面学习的基础上,对于此题以学生探究为主,教师适时启发、点拨,给学生充分的思考空间,培养学生的思维能力,在思考的同时进一步领会解决动态几何问题的数学思想和方法。事实上学生也完成的非常好。
巩固练习:已知:点A是直径上的点,OB是和这条直径垂直的半径,AB和⊙O相交的另一点C,过C的切线和OA的延长线交于D。(1)求证:AD=DC;(
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