动 中 求 静.doc

动 中 求 静—— 探究运动中的三角板问题 315700 浙江省象山县文峰学校 俞红燕 315700 浙江省象山县丹城中学 王赛英 数学新课程标准义务教育阶段的数学课程,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用浏览一下近几年的中考试卷，不难发现一个备受关注命题点三角板，使图形的相对位置不断发生变化学生在，感悟、猜想、验证几何图形所具有的“变”与“不变”解决此类问题需要充分发挥30°、45°、60°、90°特殊角的作用，抓住运动过程中的“不变因素”，拾级而上，方可获得问题的例1（2007年河北省中考试题）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． （1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的 长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，第（2）题中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由） 解：（1）BF=CG； 证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF=CG． （2）DE+DF=CG； 证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图4）．∵DE⊥BA于点E， ∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH． ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG． （3）仍然成立． 评析：此题是以三角板的一直角边在射线AC方向平移为条件，探索图形位置变化过程中线段DE，DF，CG之间的数量关系.“动态”因素是三角形的平移，“静态”因素是蕴涵在运动变化过程中线段DE，DF，CG间不变的数量关系.解决此题的关键是：①在“变”中寻找出“不变”的数与形的关系；②明确处理线段中的数量关系常用的方法：“截取”或“延长”. 二、滑动的三角板 例2．（2007年四川乐山市中考试题）如图１，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立． （1）当∠CPD=30°时，求AE的长； （2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周 长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 解：（1）在中，由，得 ， 由知，可得AE=10-12 （2）假设存在满足条件的点，设，则，由知，，解得，此时，符合题意． 评析：此题“动态”因素是三角板的直角顶点P在AD上滑动.“静态”因素之一，其中一直角边始终过点C；“静态”因素之二，某一特定位置时图形中一些线段间特有的数量关系.解决此题的关键是把握运动过程中的不变量∠EPC=90°，找出相似三角形，建立方程模型，从而使问题获得解决. 三、转动的三角板 例3．（2007年山东省临沂市中考试题)如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转. (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明DM＝DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； (2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍 然成立？请写出结论，不用证明. 解：（1）①连DB，通过证明△BMD≌△CND，可得DM=DN ②面积不变.由①知：△BMD≌△CND，则S△BMD=S△CND， ∴S四边形=S△DBN+ S△DCB=S△DBN+S△DNC=S△ABC= （2）DM=DN仍成立,亦可通过连DB，证明△BMD≌△CND得到. （3）D