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(自由)向量 有向线段，长度、方向。 ka 数乘(Scalar multiplication)： 加法(Addition)： a+b 平行四边形法则 (三角形法则) a a+b b a b a+b 统称线性运算。 a ka k0 k0 4.0 向量和向量代数 4.0.1 向量及其线性运算(Linear operation ) 运算法则 (operation rule )： (结合律) (分配律) (分配律) 4.0.2 空间直角坐标系与向量的坐标(components) 设以相互垂直的单位向量i, j, k, 按右手系组成空间的直角坐标系。 设M为空间中任意一点， x, y, z 分别称为向量M的坐标。 向量的模(norm or length)： 两点间的距离(Distance)： 设 4.0.3 两向量数量积(Dot product or inner product) 定义 设 的夹角为 则称 为 数量积（内积，点积）。 由于基本向量 是两两垂直的，所以 内积的性质(property of inner product)： （2） （对称性） （分配律） （3） （1） (非负性) （数乘结合律） （4） 则 坐标表示为 内积的坐标表示法 内积在几何中的应用 求向量的模 （1） 开方得 （2） 求非零向量间的夹角。 设 间的夹角为 则 设有四点 4.1.1 n维向量及其运算 称为n维行(或列)向量。 分量均为实数时,称为实向量; 分量均为复数时,称为复向量. 第i个分量ai也可称为?为第i个坐标; 4.1 向量组的线性相关与线性无关 称为n维基本单位向量. 向量作为矩阵的特殊形式,它的运算规则与矩阵一致. 性质 任何一个n维向量都可唯一地分解为n个 基本单位向量的线性和(线性表示)。 4.1.2 向量的线性表示 定义 设 为一组n维向量， 若一个向量 可以表示为 称 可由向量组 线性表示。 为一组常数，则称 的一个线性组合。 例4.1 n元线性方程组 它的系数矩阵为 矩阵表示: 也可表示为向量形式: 或 问题 （1） 何时能用 线性表示？ （2） 何时能用 唯一表示？ 设 为同阶向量 和 定理4.1 设 则 且这种表示是唯一的. 例4.2 例4.3 设 或 对 是否有解？解是否唯一？ 解 变成方程组： 是否有解？是否有唯一解？ (唯一表示 ) 设 并求表达式。 为何值时， 可由 线性表示？ 解： 例4.4