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专题第12讲 平面向量与复数 扬州大学附属中学 何继刚 【目标指引】 《考试说明》与《教学要求》对知识的教学与考查要求依次分为了解、理 解、掌握三个层次，对于“平面向量”： 1、理解平面向量的有关概念。教学要求如下： （1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的基本概念和几何表示；（3）理解向量 相等的含义。 2、理解平面向量的线性运算。教学要求如下： （1）掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。（2）了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）了解平面向量的基本定理及其意义。 3、理解平面向量的坐标表示。教学要求如下： （1）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（2）理解用坐标表示的平面向量共线的条件（对线段定比分点坐标公式不作要求）。 4、掌握平面向量的数量积。教学要求如下： （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦；（3）会用数量积判断两个非零向量是否垂直。 5、了解平面向量的应用。教学要求如下：让学生了解向量是一种处理几何、物理等问 题的工具。 《教学要求》要求在教学中注意如下几点： 1、要让学生了解力、速度、加速度等概念是向量概念的物理背景，有向线段是平面 向量的几何背景。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。 2、教学中要引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于用向量解较为复杂的平面几何问题不作要求。 3、向量的非正交分解、向量投影的概念只要求了解，不必展开。线段定比分点坐标公式及应用不作要求。 对于“数系的扩充与复数的引入”这一章节： 1、理解复数的有关概念；教学要求如下：了解数系扩充的过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。 2、理解复数的四则运算。教学要求如下：理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。 3、了解复数的几何意义。教学要求如下：了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 《教学要求》指出，关于“数系的扩充与复数的引入”的教学，应注意以下问题：在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。 【考点梳理】 1、知识结构 2、基本概念的理解、运用 （1）关于向量的概念 ①向量与数量不同，向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 向量是具有大小和方向的量，二者缺一不可，两个向量只有模相等且方向相同时，才能称它们相等. 对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，即我们研究的是自由向量. ②，区别在于一个是向量，一个是数量。与0具有不同含义，是既有大小，又有方向的向量，它的方向是任意的，与任何向量平行，而0只是一个实数. （2）关于向量的加法与减法运算 ①向量的加法与减法是互逆运算； ②根据向量加法的定义，求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则或平行四边形 法则，使用三角形法则要特别注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.当一个向量的终点为另一个向的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则； ③运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形。用三角形法则求两向量的差时，把减向量与被减向量的始点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）关于实数与向量的积 ①向量本身具有“形”和“数”的双重特点，数乘运算过程中既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合思想的具体运用，这点提示我们解题时不要脱离了向量的几何意义. ②向量共线也称为向量平行，向量共线的充要条件告诉我们，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）的情况，而向量平行则包括它们所在直线共线（重合）的情况. ③向量平行的充要条件 设，那么存在唯一实数，使 ④平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可以表示为其它两个不共线向量（基底）的线性组合. ⑤向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，是进一步学习向量知识解决问题的基础. ⑥实数与向量积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种形式： 实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同. （4）关于平面向量的数量积运算 ①向量的数量积不满足结合律. 两个向量的数量积