2012年北京昌平高三数学一模答案11.doc

2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．（题1） D； ，，故，因此 2．（题2） A； ，则，从而 3．（题3） B； ． 4．（题4） B； 在上单调增，，，故零点所在区间． 5．（题5） B； 由，可得，∴． 6．（题6） C； 由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得． 7．（题7） B； 设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得． 8．（题8） D； 由题设，于是定积分． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9． ； ． 10． 6； 几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为． 11． 解析：如图，弦切角，于是，从而． 12．（题12） ； 曲线：，点到的距离为，因此； ，即． 13．（题13） ； ，且 ， 因此，当且仅当，即时等号成立． 14．（题14） 有下列命题： ①若存在导函数，则； ②若函数，则； ③若函数，则； ④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件． 其中真命题的序号是 ． ③； ，①错误； ，则，②错； ，③正确； ，，只需即可，是的充分不必要条件． 3 三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（题15） 已知函数 ⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数，求的值域． ⑴ ， ∴最小正周期． 由，得 函数图象的对称轴方程为 ⑵ 当时，取得最小值； 当时，取得最大值2， 所以的值域为． 16．（题16） 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点． ⑴求证：； ⑵求二面角的余弦值； ⑶若四棱锥的体积为，求的长． ⑴∵平面，平面 ∴ ∵ ∴ ∴平面 又是中点， ∴平面 ∴． ⑵建立直角坐标系，设 则 ∴ 由⑴知，平面， ∴是平面的法向量． 设平面的法向量为， 则且， ∴． ∴， 二面角的余弦值为． ⑶连结，设， ，∴． ∵是直角三角形， ∴． 17．（题17） 某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示． 统计信息 汽车行驶 路线 不堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的概率 运费（万元） 公路1 2 3 公路2 1[ 4 ⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望； ⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ （注：毛利润销售收入运费） ⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元 堵车时公司获得的毛利润万元 ∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为 ∴万元 ⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为万元 不堵车时获得的毛利润万元 堵车时的毛利润万元 ∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为[ ∴万元 ∴ ∴选择公路2可能获利更多． 18．（题18） 已知函数 ⑴若为的极值点，求的值； ⑵若的图象在点处的切线方程为， ①求在区间上的最大值； ②求函数的单调区间． ⑴． ∵是极值点， ∴，即． ∴或2． ⑵∵在上．∴ ∵在上，∴ 又，∴ ∴，解得 ∴ ①由可知和是的极值点． ∵ ∴在区间上的最大值为8． ② 令，得 当时，，此时在单调递减 当时： 0 + 0 极小值 极大值 此时在上单调递减，在上单调递增． 当时： 0 0 + 0 极小值 极大值 此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减； 时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增． 19．（题19） 已知椭圆的离心率为． ⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点． i)当，求的值； ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式． ⑴∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，解得． 椭圆的方程为． ⑵ i)∵，∴，椭圆的方程可化为 …………① 易知右焦点，据题意有： ………② 由①，②有： ………