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矩阵 练习题 1、设 f (x) = x2 ( 3x + 2，，求 f (A) 。 2、计算下列矩阵的乘积（其中 m，k，n 均为正整数）：。 3、已知矩阵 A = BC，其中 ，C = ( 2, (1, 2 ) ，求 A100 。 4、设向量 ( = ( 1 , 2 , 3 , 4 )，( = ( 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 )，且 A = (T (，求 A10 。 6、求矩阵 的逆矩阵。 7、设三维列向量 ( = ( 1 , 0 , (1 )T ，三阶方阵 A = 3E ( ((T ，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 A(1 。 8、（1）设分块矩阵 可逆，其中 A 、 B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，求 H(1 ； （2）利用（1）的结果，计算下列矩阵的逆矩阵：。 9、当 时，A6 = E，求 A11 。 13、求解矩阵方程 AX = B，其中 ，。 14、设矩阵 ，。求矩阵方程 X ( XA = B 。 15、已知A=，三阶矩阵X满足A2 X = 2E + AX，求矩阵X 。 16、已知 ，且 A2 ( AB = E（其中 E 为三阶单位矩阵），求矩阵B 。 17、设三阶方阵 A、B 满足关系式 A(1 BA = 5A + BA，其中，求矩阵 B 。 18、已知矩阵 ， ，且矩阵 X 满足 A X A ( B X B = B X A ( A X B + B (1 ，求矩阵 X 。 21、设矩阵 满足 AB + E = A2 + B ，求矩阵 B 。 22、求矩阵 X，使 AX + BA(1 ( A(1 BX = 0，其中 ，。 23、设 ，其中E是4阶单位矩阵，是4阶矩阵A的转置矩阵，，求矩阵A。 25、设 (、(、(2 、(3 、(4 是四维列向量，且 ( A ( = ( ( , (2 , (3 , (4 ( = 4， ( B ( = ( ( , (2 , (3 , (4 ( = 1，求 ( A + B ( 。 26、设 (、(、(1 、(2 均为 3 维行向量，并且 ，，已知 ( A ( = 6， ( B ( = 1 / 2，求 ( A ( B ( 。 27、设矩阵 ，求 ( A6 ( 。 28、设 A 是 n 阶方阵，ATA = E，且 ( A ( = (1，求 ( A+E ( 。 37、证明题 （1）设 n 阶矩阵 ，其中 ai ( aj （ i ( j，i , j = 1，2，…，n ）。求证：与 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵。 （2）设 A、B 均为 n 阶矩阵，且满足 A2 = E，B2 = E（E 为单位矩阵），求证：( AB )2 = E 的充分必要条件是 A 与 B 可交换。 （3）证明：若 A 为 n 阶可逆矩阵，且与矩阵 B 可交换，则 A(1 也与 B 可交换。 （4）设 A 和 B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵，试证：如果 E ( AB 可逆，则 E ( BA 也可逆，且 ( E ( BA ) (1 = E + B ( E ( AB ) (1 A 。 （8）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行与第j行对换后得到矩阵B。（1）证明B可逆；（2）求。 答案： 1、（ ） 2、（ ） 3、（ ） 4、（ ） 6、（ ） 7、（ ） 8、（ ） 9、（ ） 13、（ ） 14、（ ） 15、（ ） 16、（ ） 17、（ ） 18、（ ） 21、（ ） 22、（ ） 23、（ ） 25、40 26、1 27、( A6 ( = ( A ( 6 = 1012 28、 0 37、（8） = P ( i , j )