高三数学参数方程、极坐标知识讲解及练习题_精品.doc

学科：数学 教学内容：参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 (t为参数) (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是 (t不参数) ② 在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是 ｜t｜. 直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是 (t为参数) 若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则 (1)P1、P2两点的坐标分别是 (x0+t1cosα,y0+t1sinα) (x0+t2cosα,y0+t2sinα)； (2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜; (3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则 t= 中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜ (4)若P0为线段P1P2的中点，则 t1+t2=0. 2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是 (是参数) φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(见图) (2)椭圆 椭圆=1(a＞b＞0)的参数方程是 (为参数) 椭圆 =1(a＞b＞0)的参数方程是 (为参数) 3.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一 不可. 点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 三、知识点、能力点提示 (一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长. 解： 将圆的方程化为参数方程： (θ为参数) 则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线的距离为d==｜4cosθ+3sinθ +6｜=5·｜（cosθ+sinθ）+｜ =5｜cos(φ-θ)+ ｜，其中cosφ=，sinφ= .故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2). (二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出 现. 例2 极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π＋θ)必定是( ) A.关于直线θ=对称 B. 关于极点对称 C.关于极轴对称 D.同一曲线 解：因(ρ，θ)与(-ρ，π+θ)表示相同的点， 故选D. (三)综合例题赏析 例3 椭圆 (Φ是参数)的两个焦点坐标是( ) A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5) C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1) 解：化为普通方程得=1 ∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4. ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4) ∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B. 例4 参数方程 (0 ＜θ＜2π)表示( ) A.双曲线的一支，这支过点(1，) B.抛物线的一部分，这部分过(1，) C.双曲线的一支，这支过(-1，) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，) 解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0) 即y=x2(x＞0).