浅析幂级数展开式的应用_精品.doc

PAGE  浅析幂级数展开式的应用 摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。 关键词：函数；幂级数；展开式 Analyses the Application of the Power Series Expansions Abstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems. Key words：function，power series，expansion 目 录  TOC \o 1-3 \h \z \u  HYPERLINK \l _Toc294595811 0 引言 1  HYPERLINK \l _Toc294595812 1　幂级数的展开 1  HYPERLINK \l _Toc294595813 1.1 直接展开法 1  HYPERLINK \l _Toc294595814 1.2 间接展开法 1  HYPERLINK \l _Toc294595815 2 幂级数展开式的应用 2  HYPERLINK \l _Toc294595816 2.1 利用幂级数求极限 2  HYPERLINK \l _Toc294595817 2.2　幂级数在不等式证明中的应用 2  HYPERLINK \l _Toc294595818 2.3　幂级数在组合恒等式中的应用 3  HYPERLINK \l _Toc294595819 2.4　应用幂级数求高阶导数 4  HYPERLINK \l _Toc294595820 2.5　应用幂级数展开式推导欧拉公式 5  HYPERLINK \l _Toc294595821 2.6　求非初等函数的原函数 5  HYPERLINK \l _Toc294595822 2.7　利用幂级数求数项级数的和 6  HYPERLINK \l _Toc294595823 2.8 幂级数在微分方程中的应用 7  HYPERLINK \l _Toc294595824 2.9 幂级数应用于近似计算 8  HYPERLINK \l _Toc294595825 3 结束语 11  HYPERLINK \l _Toc294595826 参考文献 11  HYPERLINK \l _Toc294595827 致谢 12   浅析幂级数展开式的应用 0 引言 形如的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算. 1　幂级数的展开 函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法. 1.1 直接展开法 直接展开法是比较麻烦的.首先，函数的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项 ，即使在初等函数中也是比较困难的. 1.2 间接展开法 间接展开法是根据函数的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有： （1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式； （2）应用逐项求导或逐项积分法； （3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等； （4）用待定系数法. 这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法. 2　幂级数展开式的应用 幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用. 2.1　利用幂级数求极限 例1　求极限. 解　因为 所以我们可以得到 又因为 所以 2.2　幂级数在不等式证明中的应用 例2　证明不等式 . 证明　因为 而 由于 所以就可以得到 2.3　幂级数在组合恒等式中的应用 例3　证明 . 证明　由于 所以是展开式的系数，同理可得 是展开式的系数 从而得到 是展开式的系数 又 所以 2.4　应用幂级数求高阶导数 例4　设，求. 解　由题目知 令，则上式就为 由此可以得到 2.5　应用幂级数展开式推导欧拉公式 例5　试用幂级数展开式推导欧拉公式： . 解　当为实数时，由指数函数的幂级数