留数定理在定积分计算中的应用 毕业论文_精品.doc

留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数以有限点为孤立点，即在点的某个去心邻域内解析，则积分为在点的留数，记为：． 1.2 留数的定理 介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设是由复周线…所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则． 定理1 （留数定理） 设在周线或复周线所在范围的区域内，除…外解析，在闭域上除…外连续，则 ． （1） 证明:以为心，充分小的正数为半径画圆周（…）使这些圆周及内部均含于，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得， 由留数的定义，有 ． 特别地，由定义得 ， 代入（1）式得 ． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如型的积分 表示的有理函数，且在上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设，则， ， 得 ． 例1 计算． 解: ， 由于分母有两个根，其中， 因此 ． 2.2 形如型的积分 此类积分计算时要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足以下条件才能适用 (1)，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次； (2)在半平面上的极点为（＝1，2，3，…，），在实轴上的极点为（＝1，2，3，…，）则有． 例2 计算． 解:取， 孤立点为，其中落在上半平面的为，，故 。 例3 计算． 解:由于，且上半平面只有一个极点，因此 ． 2.3 形如型的积分 定理2 （若尔当引理）设函数沿半径圆周（）上连续，且在上一致成立，则． 证明:，使当时，有 于是 （2） 这里利用了 以及 利用若尔当不等式（）将（2）化为 即 ． 例4 计算． 解:函数满足若尔当引理条件． 这里，，函数有两个一阶极点及， 于是 ． 2.4 形如和型积分 定理3 设，其中和是互质多项式，并且符合以下条件： （1）的次数比的次数高； （2）在实轴上； （3）． 则有 （3） 将（3）式实虚部分开，就可用得到形如 及的积分． 例5 计算． 解:利用以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点和，得 ． 例6 计算（）． 解 被积函数为偶函数，所以 ， 设函数关系式为，它共有四个一阶极点，即 （） 得 （）， 因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是 ， 故 ． 结束语 上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系．解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理却能够得到很好的效果. 参考文献 ［1］钟玉泉.复变函数论［M］高等教育出版社，2004. ［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004. ［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M］中国时代经济出版社，2008. ［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J］菏泽学院学报,2005. ［5］余家荣. 复变函数论［M］高等教育出版社，2004. ［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003. 致 谢 感谢培养教育我的宿州学院，学院浓厚的学术氛围，舒适的学习坏境我将终生难忘！祝母校蒸蒸日上，永创辉煌。 感谢对我倾囊相授、鞭策鼓励的诸位恩师及学长、学姐们，祝恩师们身体健康，家庭幸福，祝学长、学姐们都有一份好工作，财源滚滚，人生平安，感谢指导教师晋守博老师对我的指导。