留数定理在定积分计算中的应用 毕业论文_精品.doc

留数定理在定积分计算中的应用 毕业论文_精品.doc

  1. 1、本文档共9页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
留数定理在定积分计算中的应用 毕业论文_精品

留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中,不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力. 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题,会达到化难为易、化繁为简的效果.本文主要利用复变函数中的留数定理,将实积分转换为复积分的方法,讨论了几类定积分的计算,首先我们来给出留数的定义及留数定理. 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数以有限点为孤立点,即在点的某个去心邻域内解析,则积分为在点的留数,记为:. 1.2 留数的定理 介绍留数定理之前,我们先来介绍复周线的柯西积分定理: 设是由复周线…所围成的有界连通区域,函数在内解析,在上连续,则. 定理1 (留数定理) 设在周线或复周线所在范围的区域内,除…外解析,在闭域上除…外连续,则 . (1) 证明:以为心,充分小的正数为半径画圆周(…)使这些圆周及内部均含于,并且彼此相互隔离,利用复周线的柯西定理得, 由留数的定义,有 . 特别地,由定义得 , 代入(1)式得 . 2.留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型的积分. 2.1形如型的积分 表示的有理函数,且在上连续,解决此类积分要注意两点,一:积分上下限之差为,这样当作定积分时从到,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后,我们可以设,则, , 得 . 例1 计算. 解: , 由于分母有两个根,其中, 因此 . 2.2 形如型的积分 此类积分计算时要注意,首先分析其函数特点,函数必须满足以下条件才能适用 (1),其中,均为关于的多项式,且分母的次数至少比分子的次数高两次; (2)在半平面上的极点为(=1,2,3,…,),在实轴上的极点为(=1,2,3,…,)则有. 例2 计算. 解:取, 孤立点为,其中落在上半平面的为,,故 。 例3 计算. 解:由于,且上半平面只有一个极点,因此 . 2.3 形如型的积分 定理2 (若尔当引理)设函数沿半径圆周()上连续,且在上一致成立,则. 证明:,使当时,有 于是 (2) 这里利用了 以及 利用若尔当不等式()将(2)化为 即 . 例4 计算. 解:函数满足若尔当引理条件. 这里,,函数有两个一阶极点及, 于是 . 2.4 形如和型积分 定理3 设,其中和是互质多项式,并且符合以下条件: (1)的次数比的次数高; (2)在实轴上; (3). 则有 (3) 将(3)式实虚部分开,就可用得到形如 及的积分. 例5 计算. 解:利用以及若尔当引理,且分母在上半圆只有两个孤立奇点和,得 . 例6 计算(). 解 被积函数为偶函数,所以 , 设函数关系式为,它共有四个一阶极点,即 () 得 (), 因为,所以在上半面只有两个一阶极点及,于是 , 故 . 结束语 上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型,计算比较简捷,通过上面几例,可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别,也有联系.解题时应视具体情况而定,有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时,利用留数定理却能够得到很好的效果. 参考文献 [1]钟玉泉.复变函数论[M]高等教育出版社,2004. [2]盖云英.复变函数与积分变换指导[M]科学出版社,2004. [3]王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解[M]中国时代经济出版社,2008. [4]王瑞苹.论留数与定积分的关系[J]菏泽学院学报,2005. [5]余家荣. 复变函数论[M]高等教育出版社,2004. [6]李红,谢松发.复变函数与积分变换[M]华中科技大学,2003. 致 谢 感谢培养教育我的宿州学院,学院浓厚的学术氛围,舒适的学习坏境我将终生难忘!祝母校蒸蒸日上,永创辉煌。 感谢对我倾囊相授、鞭策鼓励的诸位恩师及学长、学姐们,祝恩师们身体健康,家庭幸福,祝学长、学姐们都有一份好工作,财源滚滚,人生平安,感谢指导教师晋守博老师对我的指导。

文档评论(0)

bodkd + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档