点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用_精品.doc

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。 定理 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有 ，得 又 同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 典题妙解 例1 已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点. （1）求弦AB的中点M的轨迹； （2）若P恰为弦AB的中点，求直线的方程. 解：（1）焦点在y轴上. 设点M的坐标为，由得：， 整理得： 所求的轨迹方程为 （2） P恰为弦AB的中点， 由得：即 直线的方程为，即 例2 已知双曲线与点 （1）斜率为且过点P的直线与C有两个公共点，求的取值范围； （2）是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P？ （3）试判断以为中点的弦是否存在. 解：（1）直线的方程为，即 由得 直线与C有两个公共点， 得 解之得：＜且 的取值范围是 （2）双曲线的标准方程为 设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，则由得： 由（1）可知，时，直线与C有两个公共点， 存在这样的弦.这时直线的方程为 （3）设以为中点的弦存在，则由得： 由（1）可知，时，直线与C没有两个公共点， 设以为中点的弦不存在. 例3 过点作直线交双曲线于A、B两点，已知（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解：在双曲线中，，焦点在轴上.设弦AB的中点为. 由平行四边形法则知：，即Q是线段OP的中点. 设点P的坐标为，则点Q的坐标为. 由得：， 整理得： 配方得：. 点P的轨迹方程是，它是中心为，对称轴分别为轴和直线的双曲线. 例4. 设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求； （Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由得， ，抛物线的顶点是，准线是. 在双曲线C中，. 双曲线C的方程为. （Ⅱ）由得：. 设，则. . （Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线. 因而，从而. 设线段AB的中点为. 由得：，.…………………………………………① 由得：.…………………………………………………② 由①、②得：. 由得：，. 又由得： 直线与双曲线C相交于A、B两点， ＞0，即＜6，且. 符合题意的的值存在，. 金指点睛 1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（02江苏）设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点. （1）求直线AB的方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？ 3. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于A、B两点. （1）求弦AB的中点M的轨迹; （2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长. 4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线. （1）求双曲线C的方程； （2）设直线与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线 对称，求的值. 参考答案 1. 解：在直线中，，时，. 由得. 又由得. 故答案选D. 2. 解：（1），焦点在上. 由得：，. 所求的直线AB方程为，即. （2）设直线CD的方程为，点在直线CD上， ，. 直线CD的方程为. 又设弦CD的中点为，由得：，即. 由得. 点M的坐标为. 又由得. 由两点间的距离公式可知：. 故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆. 3. 解：（1），焦点在上. 设点M的坐标为. 若直线的的斜率不存在，则轴，这时直线与双曲线没有公共点，不合题意，故直线的的斜率存在. 由得：， 整理，得：. 点M的轨迹方程为. （2）由得：，. 所求的直线方程为，