矩阵与行列式基础知识_精品.ppt

矩阵与行列式基础知识介 绍 * 我们常常会碰到一些求解方程的问题： 能否如一元一次方程一样求解? Page ? * 矩阵概念的引入 把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A 在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B Page ? * 矩阵的概念 一. 矩阵的定义：由 个数排成的m行n列数表，称为m行n列矩阵。　表示矩阵A的第i行第j列的元素。矩阵表示如下： A= 矩阵A也记作 m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）. Page ? * 矩阵概念的引入 引入矩阵形式： 类比 Page ? * 怎样求解矩阵方程？ ？ 因此，有必要了解和学习矩阵和行列式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。 Page ? * 相等矩阵 记为A=B. 特殊矩阵 零矩阵: 如 行矩阵、列矩阵： 行矩阵、列矩阵也称为向量 矩阵的相关概念 Page ? * 对角矩阵： aii 称为对角元. 单位矩阵： Page ? * 方程组的矩阵和向量表示形式 m个方程n个未知量的线性方程组： 向量形式 矩阵形式 若右端向量 Page ? * 矩阵的运算 1. 矩阵的加法运算 加法定义：有 矩阵 ， 那么 矩阵 为A和B的和。 C= 记作：C=A+B Page ? * 注意： (1) 同型矩阵才能相加、减； (2) 相加、减结果为同型矩阵; 负矩阵： 减法： 2. 减法运算 Page ? * 设有一个矩阵 ， 是一个数，那么矩阵 称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 ． 3. 矩阵的数乘 矩阵的线性运算律：加法、数乘. ① ② ③ ④ ⑤ Page ? * 1. 乘法的定义： 和 　 ，如果 则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。 即 我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 ． 4. 矩阵的乘法 Page ? * Page ? * 注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下， 矩阵乘法的运算规律： (AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB) A(B+C) = AB + AC (B + C)A = BA +CA Page ? * 4. 矩阵的转置 1. 定义（转置） Page ? * 例 2. 运算律 ①　( AT)T = A ② (A+B)T = AT+BT (kA)T = kAT ④ (AB)T = BTAT ⑤ (A1A2……Ak)T = ATk ATk-1……AT1 Page ? * 例 已知 ， ， 求 解 因为 所以 另解 Page ? * 行列式 行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本节主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。 Page ? * 一、二阶行列式与三阶行列式 注： 该定义称之为对角线法则。 一阶行列式： 二阶行列式： 三阶行列式： Page ? * 二、全排列与逆序数 例 把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种排法？ 显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法． 因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123，231，312，132，213，321. Page ? * 逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。 奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在