高中理科数学空间向量方法总结(家教专用)_精品.doc

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高中理科数学空间向量方法总结(家教专用)_精品

平面法向量与立体几何 引言:平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有“理解”要求,但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用,其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠,是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量[或,或],在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到关于的方程组,解此方程组即可得到。 二、平面法向量的应用 求空间角 (1)、求线面角:如图4-1,设是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,,则AB与平面所成的角为: 例3、 在例2中,求直线与平面所成的角。 解析:由例2知,,,,即 (2)、求面面角:设向量,分别是平面、的法向量,则二面角的平面角为: (图5-1); (图5-2) 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图5-1中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图5-2中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。 例4、 在例2中,求二面角的大小。 解:由例2知,平面的法向量是,平面的法向量是, 设二面角的大小为,则 ,得。 求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 方法指导:如图6,①作直线a、b的方向向量、, 求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量; ②在直线a、b上各取一点A、B,作向量; ③求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为 ,其中 (2)、点到平面的距离: 方法指导:如图7,若点B为平面α外一点,点A为平面α内任一点,平面的法向量为,则点P到平面α的距离公式为: 例5、 在例2中,求点到平面的距离。 解析:由例2的解答知,平面的单位法向量, 又,设点到平面的距离为,则 。 所以,点到平面的距离为。 (3)、直线与平面间的距离: 方法指导:如图8,直线与平面之间的距离: ,其中。是平面的法向量 (4)、平面与平面间的距离: 方法指导:如图9,两平行平面之间的距离: ,其中。是平面、的法向量。 证明 (1)、证明线面垂直:在图10中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。 (2)、证明线面平行:在图11中,向是平面的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。 (3)、证明面面垂直:在图12中,是平面的法向量, 是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直() (4)、证明面面平行:在图13中, 向是平面的法向量, 是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。 三、利用法向量解2008年高考立体几何试题 例6、(湖南理第17题)如图14所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD, PA=2. (Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB; (Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小. 解:如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2), (Ⅰ)因为平面PAB的一个法向量是, 所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE,故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)易知 设是平面PBE的一个法向量,则由 得: 所以 设是平面PAD的一个法向量,则由 得: 所以故可取 于是, 故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是 点评:本题采用常规方法(即综合法)求这个二面角的平面角比较困难,而用向量法只要计算不出问题,一般都能解决问题 例7、(全国卷Ⅱ理科第19题)如图14,正四棱柱中,,点在上且.(Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的大小. 解:以为坐标原点,射线为轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系. 依题设,. ,. (Ⅰ)因为,, 故,.又,所以平面. (Ⅱ)设向量是平面的法向量,则 ,.故,.令,则,,. 等于二面角的平面角,. 所以二面角的大小为. 点评:本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算,同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。 例9(安徽卷理第18题)如图16,在四

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