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高中理科数学空间向量方法总结(家教专用)_精品
平面法向量与立体几何
引言:平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有“理解”要求,但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用,其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠,是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量[或,或],在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到关于的方程组,解此方程组即可得到。
二、平面法向量的应用
求空间角
(1)、求线面角:如图4-1,设是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,,则AB与平面所成的角为:
例3、 在例2中,求直线与平面所成的角。
解析:由例2知,,,,即
(2)、求面面角:设向量,分别是平面、的法向量,则二面角的平面角为:
(图5-1); (图5-2)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图5-1中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图5-2中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
例4、 在例2中,求二面角的大小。
解:由例2知,平面的法向量是,平面的法向量是,
设二面角的大小为,则
,得。
求空间距离
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:如图6,①作直线a、b的方向向量、,
求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;
②在直线a、b上各取一点A、B,作向量;
③求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为
,其中
(2)、点到平面的距离:
方法指导:如图7,若点B为平面α外一点,点A为平面α内任一点,平面的法向量为,则点P到平面α的距离公式为:
例5、 在例2中,求点到平面的距离。
解析:由例2的解答知,平面的单位法向量,
又,设点到平面的距离为,则
。 所以,点到平面的距离为。
(3)、直线与平面间的距离:
方法指导:如图8,直线与平面之间的距离:
,其中。是平面的法向量
(4)、平面与平面间的距离:
方法指导:如图9,两平行平面之间的距离:
,其中。是平面、的法向量。
证明
(1)、证明线面垂直:在图10中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。
(2)、证明线面平行:在图11中,向是平面的法向量,
是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。
(3)、证明面面垂直:在图12中,是平面的法向量,
是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直()
(4)、证明面面平行:在图13中, 向是平面的法向量,
是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。
三、利用法向量解2008年高考立体几何试题
例6、(湖南理第17题)如图14所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD
是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,
PA=2. (Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.
解:如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),
(Ⅰ)因为平面PAB的一个法向量是,
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE,故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
设是平面PBE的一个法向量,则由 得:
所以
设是平面PAD的一个法向量,则由 得:
所以故可取
于是,
故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是
点评:本题采用常规方法(即综合法)求这个二面角的平面角比较困难,而用向量法只要计算不出问题,一般都能解决问题
例7、(全国卷Ⅱ理科第19题)如图14,正四棱柱中,,点在上且.(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
解:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系.
依题设,.
,.
(Ⅰ)因为,,
故,.又,所以平面.
(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则
,.故,.令,则,,.
等于二面角的平面角,.
所以二面角的大小为.
点评:本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算,同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。
例9(安徽卷理第18题)如图16,在四
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