函数定义域、值域、解析式求法分析.doc

1．2.1　函数的概念 1．函数的定义 (1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量． B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x) (x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． →B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x) (x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)对函数概念的理解需注意以下几点： ①A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在． ②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y＝x2＋1可称为实数集到实数集的函数． ③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了． ④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)＝x2－2x＋3.当x＝2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x－1)＝(2x－1)2－2(2x－1)＋3，f[g(x)]＝[g(x)]2－2g(x)＋3等，f(a. )与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量． ⑤ 对应关系：A中的任一个元素，B中都有唯一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不唯一，也可以没有． 2．两个函数相等 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的； (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则． 例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数． 3．区间的概念 函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念： 设a，b是两个实数，而且ab，我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]． ②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)． ③满足不等式a≤xb，或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]． 满足x≥a，xa，x≤a，xa的实数x的集合用区间分别记作[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a)． 对区间概念的理解，要注意以下三点： (1)区间符号里面两个字母(或数字)之间用“，”间隔开． (2)无穷大是一个符号，不是一个数． (3)在求函数的定义域或值域时，既可以用集合也可以用区间表示. 　　　题型一　两个函数相等的判断 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由． ①f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 ②f(x)＝x，g(x)＝ ③f(x)＝x2，f(x)＝(x＋1)2 ④f(x)＝|x|，g(x)＝ 解　①f(x)＝(x－1)0的定义域为{x|x≠1}， g(x)＝1的定义域为实数集R，它们定义域不同，所以它们不表示同一函数； ②f(x)＝x的值域是R，g(x)＝的值域是[0，＋∞)，它们的值域不同，所以它们不表示同一函数； ③f(x)＝x2与f(x)＝(x＋1)2的对应关系不同，所以它们不表示同一函数； ④f(x)＝|x|与g(x)＝的定义域都为实数集R，值域都为[0，＋∞)，对应关系相同，所以它们是同一函数． 点评　判断两个函数是否相同时，只要看定义域和对应关系是否完全一致，只有完全一致，这两个函数才是相等函数，对于解析式较为复杂的函数需先化简比较对应关系是否相同，但化简过程必须是等价的． 　　　　　题型二　函数的求值 已知函数f(x)＝x2＋x－1，求： (1)f(2)； (2)f； (3)若f(x)＝5，求x的值． 解　(1)f(2)＝4＋2－1＝5. (2)f＝2＋－1 ＝＋＋1. (3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5. 由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3. 点评　求函数值主要用代入法，每当代入时要注意式子的化简和符号的变化，求f(g(x))可以看作是求以g(x)为f(x)的自变量的函数值． 　　　　　题型三　函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝＋