一种改进的2n因子乘积形式的逆矩阵求解算法ξ.pdf

Vol. 23 No. 4 　　 　　　　　　 　 　　　　　　　　　 　 第23卷 第4期 固 体 力 学 学 报 2002年 　12月 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA December 2002 一种改进的 2 n 因子乘积形式的 逆矩阵求解算法 吕毅宁　　柳玉起 　　胡 　平 ( 吉林大学南岭校区汽车覆盖件成形技术研究所 ,长春 ,130025) 摘 　要 　复杂结构的有限元分析需要耗费巨大的内存和计算机时间. 在此过程中 ,有限元 线性方程组的求解时间占很大比例 ,因此 ,发展高效的线性方程组求解算法是提高有限元分析 效率的关键. 针对矩阵求逆问题 ,该文将有限元方程组的系数矩阵视为等分块矩阵 ,并基于等分 块矩阵的概念推广了传统的逆矩阵的 n 因子和2 n 因子乘积形式. 推广后得到的这组乘积形式 在适当条件下又分别可以退化到传统的逆矩阵的 n 因子和2 n 因子乘积形式. 应用基于推广后 得到的这组乘积形式的求逆算法来求解板材冲压成形有限元数值模拟中的大型有限元线性方 程组 ,结果表明 ,该算法可以显著地提高大型有限元线性方程组的求解效率. 关键词 　分块矩阵 ,逆矩阵 ,有限元 ,板材冲压成形 1 　引言 复杂结构的有限元分析需要耗费巨大的内存和计算机时间. 对采用 Updating Lagrange 有 限元方法[1 ,2 ] 对板材冲压成形过程进行有限元数值模拟的过程进行分析 ,发现求解有限元线 性方程组的时间占整个数值模拟过程的比例超过 90 %. 因此 ,提高有限元线性方程组的求 解效率对提高复杂结构的有限元分析效率至关重要. 求解线性方程组的数值方法有很多种. 总体上可以分为直接法和迭代法两类. 由于复杂 结构的变形过程往往是非线性 ,甚至是多重非线性的 ,对这样的变形过程进行有限元分析时 遇到的有限元线性方程组的系数矩阵的性态会有很大差异. 用迭代法对该线性方程组进行 求解时常常会出现不收敛或收敛速度太慢的情况. 虽然直接解法需要的内存量比迭代法要 多 ,但它能够精确地对这些线性方程组进行求解. 可以预见 ,随着计算机技术的迅速发展 ,计 算机性能不断提高 ,通过直接法可以求解的方程组的规模将会逐步提高. 因此 ,直接法还是 首选的方法[2 ] . ( ) 特别地 ,对于大型有限元方程组来说 , 由于系数矩阵 刚度矩阵 具有稀疏、正定、对称等 特性 ,因此可以在高斯法的基础上发展更为有效的直接解法. 常见的这类解法 ,如二维等带 宽存储的高斯消去法和一维变带宽存储的LDLT 法等. 实际上通过对有限元离散网格模型的 节点进行适当的排序 ,用逆矩阵的 2 n 因子乘积形式来求解有限元刚度方程 ,可以更好地利 用刚度矩阵的稀疏特性 ,合理建立存储刚度矩阵的数据结构 ,进一步减少内存使用 ,并缩短 求解时间[3 ,6 ] . ( ) ( ) 国家自然科学基金重点项目 、教育部重点科技攻关项目 99034 和国家杰出青年科学基金项目 ( ) 联合资助. 收到第 1 稿 收到修改稿. © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 第 4 期