距离乘积的表示与erds问题的解.pdf

距離乘積的表示與 Erd¨os 問題的解 徐瀝泉 王繼岳 摘要: 本文以 P. Erd¨os 在 “美國數學 月刊”1993 年 2 月號所提供的問題 (序號 10282) 為背景, 給出了單位圓內一點至單位圓上點的距離乘積的解析運算式, 其內 涵十分豐富且幾何意義明確, 由此順利地解決並推廣了 Erd¨os 問題。 關鍵詞: 單位圓、 距離乘積、 艾狄胥問題 0. 引論 筆者為尋求艾狄胥 (P. Erd¨os) 問題的解, 最初訴諸初等幾何, 雖找到了其解, 但覺缺乏深 度, 進而尋找解析法, 無可避免地涉及單位圓內一點至弦的兩端點距離的乘積, 在此意義上, 本 文提供了內涵豐富且幾何意義明確的距離乘積的解析運算式。 根據其性質, 順利地解決了艾狄 胥問題, 並把它稍作推廣。 1. 艾狄胥問題 A、B、C 為內接單位圓的三角形的頂點, P 為三角形內一點, 求證 |P A| |P B | |P C | 32/27 原載 “美國數學 月報”1993年 2 月號, 184頁, 問題 10282, 下圖 1-1由作者給出。 47 48 數學傳播 27 卷 2期 民 92 年 6 月 2. 距離公式 如圖 1-1, 單位圓內一點 P (r cos t, r sin t), (r ∈ [0, 1) 為 P 點至圓心 O 之距離) 至單 位圓上任一點 Q (cosθ, sin θ), θ ∈ [0, 2π] 的距離平方 |P Q|2 = 1 + r2 − 2r cos(t − θ), r ∈ [0, 1) (A) 由兩點間的距離公式易證 (A) 式。 3. 距離乘積 AB 為單位圓 O 的弦, 端點座標 A(1, 0), B (cos 2α, sin 2α), 扇形 OAB 內的點 P (r cos t, r sin t), 不排斥 P 點落在半徑 OA 或 OB 上, 故 t ∈ [0, 2α], 應用距離公式 |P A|2 |P B |2 = (1 + r2 − 2r cos t)[1 + r2 − 2r cos(t − 2α)] 2 2 2 2 = (1 + r ) − 2r (1 + r )[cos t + cos(t − 2α)] + 4r cos t cos(t − 2α) 2 2 2 2 2 2 = (1 + r ) − 4r (1 + r ) cos(t − α) cos α + 4r [cos (t − α) − sin α] 2 2 2 2 2 2 = (1 − r ) − 4r (1 + r ) cos(t − α) cos α + 4r [cos (t − α) + cos α] 設 OP 交 AB 於 P , |OP | = r , 則 r cos(t − α) = cos α = 弦心距 |OD |。 繼續恆等變形 0 0 0 0 2 r r